(20%) Resolva a EDO usando série de potências em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
usando série de potências em
.
Informações/dados fornecidos:
Informações/dados fornecidos:
- A EDO é
. - Devemos procurar uma solução expressa como série de potências em
(isto é, em torno de ).
O que a questão pede explicitamente: encontrar a solução geralobtida pelo método de séries de potências.
Passo 2
Vamos começar assumindo que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Ou seja, suponho
onde
são coeficientes reais (constantes) que vamos determinar. Aqui
e
serão os coeficientes iniciais que aparecem livremente (valores arbitrários) e representam, mais adiante,
e
.
Passo 3
Agora calculo as derivadas termopor termo da série (isso é permitido dentro do raio de convergência):
Para comparar diretamente com a série de
(que tem potências
), faço mudança de índice na série de
. Coloco
, ou seja
. Assim
Para simplificar a notação, volto a usar
no somatório (troca de letra sem alterar a soma):
Passo 4
A equação diferencial exige
. Substituo as séries:
Agora, como ambas as somas estão em potências
, posso igualar coeficiente a coeficiente para cada
.
Passo 5
Igualando os coeficientes de
nas duas séries obtemos a relação de recorrência
Isolando
,
Essa é a fórmula que permite obter todos os coeficientes a partir de
e
.
Passo 6
Vou calcular alguns coeficientes iniciais para ver o padrão.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observando os números:
,
,
,
. Podemos conjecturar que, por indução (usando a recorrência repetidamente),
para todo
. (Se quiseres, dá para provar por indução usando a relação
.)
Passo 7
Agora escrevo a série de
separando termos de índice par e ímpar:
Termos pares:
Termos ímpares:
Portanto
Passo 8
Reconhecemos as séries conhecidas:
Logo a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (que coincidem com
e
, respectivamente). Observação: a série converge para todo
(raio de convergência infinito).