(20%) Resolva a EDO usando série de potências em x :
y^{\prime \prime}=y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y'' = y
usando série de potências em x.
Informações/dados fornecidos:
  • A EDO é \;y''=y\;.
  • Devemos procurar uma solução expressa como série de potências em x (isto é, em torno de x=0).
    O que a questão pede explicitamente: encontrar a solução geral y(x) obtida pelo método de séries de potências.

Passo 2

Vamos começar assumindo que a solução y pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0. Ou seja, suponho
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde a_n são coeficientes reais (constantes) que vamos determinar. Aqui a_0 e a_1 serão os coeficientes iniciais que aparecem livremente (valores arbitrários) e representam, mais adiante, y(0) e y'(0).

Passo 3

Agora calculo as derivadas termopor termo da série (isso é permitido dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Para comparar diretamente com a série de y (que tem potências x^n), faço mudança de índice na série de y''. Coloco n-2 = m, ou seja n=m+2. Assim
y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^{m}.
Para simplificar a notação, volto a usar n no somatório (troca de letra sem alterar a soma):
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.

Passo 4

A equação diferencial exige y''(x)=y(x). Substituo as séries:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Agora, como ambas as somas estão em potências x^n, posso igualar coeficiente a coeficiente para cada n\ge0.

Passo 5

Igualando os coeficientes de x^n nas duas séries obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} = a_n,\qquad \text{para todo } n\ge0.
Isolando a_{n+2},
a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
Essa é a fórmula que permite obter todos os coeficientes a partir de a_0 e a_1.

Passo 6

Vou calcular alguns coeficientes iniciais para ver o padrão.
Para n=0:
a_2 = \frac{a_0}{2\cdot 1} = \frac{a_0}{2}.
Para n=1:
a_3 = \frac{a_1}{3\cdot 2} = \frac{a_1}{6}.
Para n=2:
a_4 = \frac{a_2}{4\cdot 3} = \frac{1}{12}\,a_2 = \frac{1}{12}\cdot\frac{a_0}{2} = \frac{a_0}{24}.
Para n=3:
a_5 = \frac{a_3}{5\cdot 4} = \frac{1}{20}\,a_3 = \frac{1}{20}\cdot\frac{a_1}{6} = \frac{a_1}{120}.
Observando os números: 2=2!, 6=3!, 24=4!, 120=5!. Podemos conjecturar que, por indução (usando a recorrência repetidamente),
a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!}\quad\text{e}\quad a_{2k+1} = \frac{a_1}{(2k+1)!},
para todo k\ge0. (Se quiseres, dá para provar por indução usando a relação a_{n+2}=a_n/((n+2)(n+1)).)

Passo 7

Agora escrevo a série de y separando termos de índice par e ímpar:
Termos pares:
\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_0}{(2k)!}\,x^{2k} = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
Termos ímpares:
\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_1}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} = a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto
y(x)=a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \;+\; a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 8

Reconhecemos as séries conhecidas:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = \operatorname{cosh} x, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \operatorname{sinh} x.
Logo a solução geral é
y(x)=a_0\operatorname{cosh} x + a_1\operatorname{sinh} x,
onde a_0 e a_1 são constantes arbitrárias (que coincidem com y(0) e y'(0), respectivamente). Observação: a série converge para todo x (raio de convergência infinito).

Resposta

y(x)=a_0\operatorname{cosh} x + a_1\operatorname{sinh} x

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