Resolver o PVI \frac{d y}{d x}=4 x \sqrt[3]{x^{2}+8} tal que y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o problema de valor inicial (PVI) dado por
\frac{dy}{dx}=4x\sqrt[3]{x^{2}+8}
com a condição inicial
y(0)=0.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial relaciona a derivada de y com uma função explícita de x (ou seja, o lado direito depende somente de x); a condição inicial fixa o valor de y em x=0. A missão é encontrar a função y(x) que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 2

Observação sobre como prosseguir (explicação didática): quando a equação tem a forma \frac{dy}{dx}=g(x), isto significa que a derivada de y é uma função conhecida de x. Nesse caso podemos obter y integrando ambos os lados em relação a x. Integrar aqui é encontrar uma primitiva (antiderivada): se \frac{dy}{dx}=g(x), então
y(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é uma constante a ser determinada pela condição inicial. Vamos aplicar isso diretamente ao nosso problema.

Passo 3

Escrevemos a equação de forma diferencial e integramos:
dy = 4x\bigl(x^{2}+8\bigr)^{1/3}dx
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\int dy = \int 4x\bigl(x^{2}+8\bigr)^{1/3}dx.
O lado esquerdo dá simplesmente y. Para o lado direito, fazemos uma substituição conveniente para facilitar a integral.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x^{2}+8.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Substituindo na integral do lado direito:
\int 4x\bigl(x^{2}+8\bigr)^{1/3}dx = \int 4\,u^{1/3}\cdot x\,dx = \int 4\,u^{1/3}\cdot\frac{du}{2} = \int 2\,u^{1/3}\,du.

Passo 5

Agora usamos a regra de potência para integrar: para n\neq -1 vale \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}. Aqui n=\tfrac{1}{3}, então
\int 2\,u^{1/3}\,du = 2\cdot\frac{u^{4/3}}{4/3}+C = \frac{3}{2}\,u^{4/3}+C.
Voltando à variável x:
y(x)=\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+8\bigr)^{4/3}+C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0 para encontrar C. Primeiro calculamos \bigl(0^{2}+8\bigr)^{4/3}=8^{4/3}. Como 8=2^{3}, temos
8^{4/3}=(8^{1/3})^{4}=2^{4}=16.
Portanto
0=y(0)=\frac{3}{2}\cdot 16 + C = 24 + C,
o que dá
C=-24.

Passo 7

Substituindo C na expressão geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+8\bigr)^{4/3}-24.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando y(x),
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\bigl(x^{2}+8\bigr)^{1/3}\cdot 2x = 4x\bigl(x^{2}+8\bigr)^{1/3},
que coincide com o lado direito da equação original, e y(0)=\tfrac{3}{2}\cdot16-24=0. Tudo certo!

Resposta

y(x)=\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+8\bigr)^{4/3}-24

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