Resolver o PVI
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o problema de valor inicial (PVI) dado por
com a condição inicial
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial relaciona a derivada de
com uma função explícita de
(ou seja, o lado direito depende somente de
); a condição inicial fixa o valor de
em
. A missão é encontrar a função
que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Observação sobre como prosseguir (explicação didática): quando a equação tem a forma
, isto significa que a derivada de
é uma função conhecida de
. Nesse caso podemos obter
integrando ambos os lados em relação a
. Integrar aqui é encontrar uma primitiva (antiderivada): se
, então
onde
é uma constante a ser determinada pela condição inicial. Vamos aplicar isso diretamente ao nosso problema.
Passo 3
Escrevemos a equação de forma diferencial e integramos:
logo
O lado esquerdo dá simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição conveniente para facilitar a integral.
Passo 4
Fazemos a substituição
Então
Substituindo na integral do lado direito:
Passo 5
Agora usamos a regra de potência para integrar: para
vale
. Aqui
, então
Voltando à variável
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Primeiro calculamos
. Como
, temos
Portanto
o que dá
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular do PVI:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando
,
que coincide com o lado direito da equação original, e
. Tudo certo!