Dado que y1(t)=cos t é uma solução para
y^prime prime-y^prime+y=sen t
e y2(t)=e^2 t / 3 é uma solução para
y^prime prime-y^prime+y=e^2 t,
use o principio da superposição para achar soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b) y^prime prime-y^prime+y=sen t-3 e^2 t

Passo 1

O enunciado dá duas soluções particulares para o operador linear
L[y]=y''-y'+y:
  • y1(t)=cos t satisfaz
L[y1]=sin t
  • y2(t)=e^2t/3 satisfaz
L[y2]=e^2t
Agora queremos uma solução particular de
y''-y'+y=sin t - 3e^2t

Passo 2

Pelo princípio da superposição, se yp1 satisfaz L[yp1]=f1 e yp2 satisfaz L[yp2]=f2, então
yp=yp1+yp2
satisfaz L[yp]=f1+f2. Além disso, para qualquer constante c,
L[c,yp2]=c,L[yp2]=c,f2

Passo 3

Como L[y1]=sin t, podemos usar yp1=y1=cos t para gerar a parte sin t no lado direito.

Passo 4

Como L[y2]=e^2t, para gerar -3e^2t basta tomar
yp2=-3,y2=-3e^2t/3,
pois
L[yp2]=-3,L[y2]=-3e^2t

Passo 5

Aplicando a superposição, uma solução particular da equação completa é
yp(t)=yp1+yp2 =cos t ;-;3e^2t/3

Resposta

y(t)=cos t-3e^2t/3

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