Dado que y1(t)=cos t é uma solução para
y^prime prime-y^prime+y=sen t
e y2(t)=e^2 t / 3 é uma solução para
y^prime prime-y^prime+y=e^2 t,
use o principio da superposição para achar soluções para as seguintes equações diferenciais:
(c) y^prime prime-y^prime+y=4 sen t+18 e^2 t

Passo 1

O enunciado dá duas soluções particulares para o operador linear L[y]=y''-y'+y:
  1. y1(t)=cos t satisfaz
L[y1]=sen t
  1. y2(t)=e^2t/3 satisfaz
L[y2]=e^2t
Na parte (c) queremos resolver
L[y]=4,sen t +18,e^2t
O conteúdo é o princípio da superposição em equações lineares de coeficientes constantes.

Passo 2

Pelo princípio da superposição, se L[y1]=f1(t) e L[y2]=f2(t), então
Ll(A,y1+B,y2r)=A,f1(t)+B,f2(t)
Podemos escolher A e B para que o RHS fique 4,sen t+18,e^2t.

Passo 3

Para gerar 4,sen t usamos y1: basta multiplicar por 4, pois
L[,4,y1,]=4,L[y1]=4,sen t

Passo 4

Para gerar 18,e^2t usamos y2: basta multiplicar por 18, pois
L[,18,y2,]=18,L[y2]=18,e^2t

Passo 5

Somando as duas partes, uma solução particular para
L[y]=4,sen t +18,e^2t
é
yp(t)=4,y1(t)+18,y2(t)=4cos t+18,e^2t/3

Resposta

y(t)=4cos t+18,e^2t/3

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