Dado que y1(t)=(1 / 4) sen 2 t é uma soluçăo para y^prime prime+2 y^prime+4 y=cos 2 t e que y2(r)=t / 4-1 / 8 é uma soluçào para y^prime prime+2 y^prime+4 y=t, use o princípio da superposição para encontrar soluções para:
(b) y^prime prime+2 y^prime+4 y=2 t-3 cos 2 t.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a EDO linear
y''+2y'+4y=2t-3cos(2t),
sabendo que já temos duas soluções particulares:
y2(t)= t4-18 para a parte t e
y1(t)=14sin(2t) para a parte cos(2t).
O conteúdo que vamos usar é o princípio da superposição em EDOs lineares: se
,L[y]=f1 tem solução yp1 e
,L[y]=f2 tem solução yp2,
então para L[y]=a f1+b f2 uma solução particular é
,yp=a,yp1+b,yp2.

Passo 2

Identificamos as duas partes do termo forçante:
  • Para 2t, como y2(t) resolve L[y]=t, basta multiplicar por 2: yp^(1)(t)=2,y2(t)=2l( t4-18r)= t2-14
  • Para -3cos(2t), como y1(t) resolve L[y]=cos(2t), basta multiplicar por -3: yp^(2)(t)=-3,y1(t)=-3cdot14sin(2t)=-34sin(2t)

Passo 3

Pela superposição, uma solução particular para o forçante completo é
yp(t)=yp^(1)(t)+yp^(2)(t) =l( t2-14r)-34sin(2t) = t2-14-34sin(2t)

Resposta

boxedyp(t)= t2-14-34sin(2t)

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