Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
y^prime prime+y^prime=1, yp(t)=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = 1
sabendo que uma solução particular é yp(t)=t.
Para resolver, vamos usar o método da superposição, isto é, escrever
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh é a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Formamos a equação homogênea
y'' + y' = 0
Assumimos yh(t)=e^rt e obtemos a equação característica
r^2 + r = 0 Longrightarrow r,(r+1)=0 Longrightarrow r=0,;-1
Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=C1 e^0cdot t + C2 e^-1cdot t = C1 + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Pela superposição, a solução geral da equação não homogênea é
y(t)=yh(t)+yp(t) = l(C1 + C2 e^-tr) + t

Resposta

y(t)=C1 + C2 e^-t + t,
com C1,C2 constantes.

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