Queståo. ( 20 pontos) Use o método de fator integrante para encontrar a solugio geral de x y^prime+2 y=cos x, x>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x,y' + 2,y = cos x, x>0,
que é uma EDO de primeira ordem linear. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar y(x).

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x:
y' + 2x,y = cos xx
Aqui identificamos
P(x) = 2x, Q(x) = cos xx

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 2x,dxr) = exp(2ln x) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2 obtemos
x^2 y' + 2x,y = x^2cdotcos xx ;Longrightarrow; x^2 y' + 2x,y = xcos x
O lado esquerdo é o derivado de x^2y, logo
ddxl(x^2yr) = xcos x
Integramos ambos os lados:
x^2y = integral xcos x,dx + C

Passo 5

Para calcular integral xcos x,dx, usamos partes com u=x, dv=cos x,dx. Então v=sin x e
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x + C1
Substituindo em x^2y:
x^2y = xsin x + cos x + C,
onde C é constante geral.

Passo 6

Isolando y:
y(x) = xsin x + cos x + Cx^2 = xsin x + cos xx^2 + Cx^2

Resposta

y(x) = xsin x + cos x + Cx^2, CinR

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