Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
dd x(x e^xx+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
ddx!gl(x e^xx+1gr)
para isso vamos usar as regras de derivação de produto e de quociente.

Passo 2

Definimos
f(x)=x e^x, g(x)=x+1
Calculamos as derivadas de cada uma:
f'(x)=ddx(x e^x)=e^x+x e^x=e^x(1+x),
g'(x)=ddx(x+1)=1

Passo 3

Aplicando a regra do quociente temos
ddx!gl(f(x)g(x)gr) =f'(x),g(x)-f(x),g'(x)l[g(x)r]^2 =e^x(1+x)(x+1)-x e^xcdot1(x+1)^2

Passo 4

No numerador, fatoramos e^x:
e^xl((1+x)(x+1)-xr) =e^xl(x^2+2x+1 - xr) =e^x,(x^2+x+1)
Portanto a derivada simplificada fica
ddx!gl(x e^xx+1gr) =e^x,(x^2+x+1)(x+1)^2

Resposta

e^x,(x^2+x+1)(x+1)^2

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