Dados z_{1}=2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{4}\right), z_{2}=3\left(\cos \frac{7 \pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{6}\right) \mathrm{e}
z_{3}=4\left(\cos \frac{31 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{31 \pi}{3}\right)
,calcule:
Z_{1} \cdot Z_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos em forma polar:
z_{1}=2\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\bigr), \quad z_{2}=3\bigl(\cos\frac{7\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{7\pi}{6}\bigr).
Queremos calcular o produto z_{1}\cdot z_{2}. Para isso, vamos usar a propriedade de multiplicação de números complexos em forma polar.

Passo 2

A regra de multiplicação em forma polar diz que, se
z_{1}=r_{1}\bigl(\cos\theta_{1}+i\operatorname{sen}\theta_{1}\bigr) \quad\text{e}\quad z_{2}=r_{2}\bigl(\cos\theta_{2}+i\operatorname{sen}\theta_{2}\bigr),
então
z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\Bigl(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\operatorname{sen}(\theta_{1}+\theta_{2})\Bigr).

Passo 3

Identificamos r_{1}=2, \theta_{1}=\tfrac{3\pi}{4}, r_{2}=3 e \theta_{2}=\tfrac{7\pi}{6}. Logo,
r_{1}r_{2}=2\cdot 3=6, \qquad \theta_{1}+\theta_{2} =\frac{3\pi}{4}+\frac{7\pi}{6} =\frac{9\pi+14\pi}{12} =\frac{23\pi}{12}.

Passo 4

Podemos deixar o argumento na forma \tfrac{23\pi}{12}, que já está entre 0 e 2\pi. Assim,
z_{1}z_{2} =6\Bigl(\cos\frac{23\pi}{12}+i\operatorname{sen}\frac{23\pi}{12}\Bigr).

Resposta

z_{1}\cdot z_{2} =6\Bigl(\cos\tfrac{23\pi}{12}+i\operatorname{sen}\tfrac{23\pi}{12}\Bigr).

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