Dados z_{1}=2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{4}\right), z_{2}=3\left(\cos \frac{7 \pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{6}\right) \mathrm{e}
z_{3}=4\left(\cos \frac{31 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{31 \pi}{3}\right)
,calcule:
z_{1} \cdot \overline{z_{3}}

Passo 1

O enunciado dá
z_{1}=2\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\bigr) \quad\text{e}\quad z_{3}=4\bigl(\cos\frac{31\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{31\pi}{3}\bigr)
e pede z_{1}\cdot\overline{z_{3}}. Vamos usar a forma trigonométrica de números complexos, regra do conjugado e soma de argumentos para produtos.

Passo 2

Primeiro simplificamos o argumento de z_{3}. Note que
\frac{31\pi}{3}=2\pi\cdot5+\frac{\pi}{3},
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z_{3}=4\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\bigr).
O conjugado troca o sinal do seno, então
\overline{z_{3}} =4\bigl(\cos\frac{\pi}{3}-i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\bigr) =4\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{3})+i\operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{3})\bigr).

Passo 3

Para multiplicar z_{1} por \overline{z_{3}} basta multiplicar módulos e somar argumentos:
- Módulo: 2\times4=8.
- Argumento:
\frac{3\pi}{4}+(-\tfrac{\pi}{3}) =\frac{9\pi-4\pi}{12} =\frac{5\pi}{12}.
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z_{1}\cdot\overline{z_{3}} =8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{12}+i\operatorname{sen}\frac{5\pi}{12}\Bigr).

Resposta

z_{1}\cdot\overline{z_{3}} =8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{12}+i\operatorname{sen}\frac{5\pi}{12}\Bigr).

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