Dados z_{1}=2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{4}\right), z_{2}=3\left(\cos \frac{7 \pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{6}\right) \mathrm{e}
z_{3}=4\left(\cos \frac{31 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{31 \pi}{3}\right)
,calcule:
\frac{z_{3}}{z_{2}}

Passo 1

O enunciado fornece três números complexos em forma trigonométrica \displaystyle z_{1}=2\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr), \displaystyle z_{2}=3\bigl(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\bigr) e \displaystyle z_{3}=4\bigl(\cos\frac{31\pi}{3}+i\sin\frac{31\pi}{3}\bigr).
O que precisamos calcular é \displaystyle \frac{z_{3}}{z_{2}}.
Para isso vamos usar a propriedade de divisão de números complexos em forma trigonométrica:
o módulo divide e o argumento subtrai.

Passo 2

A fórmula geral para divisão é
\frac{r_3(\cos\theta_3+i\sin\theta_3)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} = \frac{r_3}{r_2}\Bigl[\cos(\theta_3-\theta_2)+i\sin(\theta_3-\theta_2)\Bigr].
Aqui r_3=4, \theta_3=\tfrac{31\pi}{3}, r_2=3 e \theta_2=\tfrac{7\pi}{6}.

Passo 3

Primeiro calculamos a diferença de argumentos:
\theta_3-\theta_2 = \frac{31\pi}{3}-\frac{7\pi}{6} = \frac{62\pi-7\pi}{6} = \frac{55\pi}{6}.
Agora reduzimos \tfrac{55\pi}{6} módulo 2\pi:
\frac{55\pi}{6}=\frac{48\pi+7\pi}{6}=8\pi+\frac{7\pi}{6},
e como 8\pi é múltiplo de 2\pi, ficamos com \displaystyle \theta_3-\theta_2\equiv \frac{7\pi}{6}\pmod{2\pi}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de divisão, o módulo fica \tfrac{4}{3} e o argumento \tfrac{7\pi}{6}:
\frac{z_3}{z_2} = \frac{4}{3}\Bigl[\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\Bigr].
Se quisermos a forma cartesiana, usamos \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2} e \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12, então
\frac{z_3}{z_2} = \frac{4}{3}\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{i}{2}\Bigr) = -\frac{2\sqrt3}{3}-\frac{2}{3}\,i.

Resposta

\frac{z_3}{z_2} = \frac{4}{3}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\Bigr) = -\frac{2\sqrt3}{3}-\frac{2}{3}\,i.

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