Dados z_{1}=6\left(\cos 70^{\circ}+i \operatorname{sen} 70^{\circ}\right) e z_{2}=3\left(\cos 40^{\circ}+i \operatorname{sen} 40^{\circ}\right), determine w=\frac{z_{1}}{z_{2}} na forma trigonométrica e algébrica.

Passo 1

O enunciado dá duas formas trigonométricas de números complexos e pede a divisão entre eles:
  • Dados \,z_{1}=6\big(\cos 70^{\circ}+i\sin 70^{\circ}\big) e \,z_{2}=3\big(\cos 40^{\circ}+i\sin 40^{\circ}\big).
  • Pede-se determinar w=\dfrac{z_{1}}{z_{2}} na forma trigonométrica e na forma algébrica (retangular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Módulos: r_{1}=6 e r_{2}=3.
  • Argumentos: \theta_{1}=70^{\circ} e \theta_{2}=40^{\circ}.
  • Objetivo: encontrar w primeiro em forma trigonométrica e depois em forma a+bi.

Passo 2

Motivação do método: como z_{1} e z_{2} já estão em forma trigonométrica, usar a regra de divisão nessa forma é o caminho mais direto — é rápido e evita cálculo de seno e cosseno intermediário.
Fórmula que vou usar (e o que cada símbolo significa):
  • Se \,z_{1}=r_{1}\big(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}\big) e \,z_{2}=r_{2}\big(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}\big),
    então
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\big(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\big).
Aqui r_{1},r_{2} são os módulos (comprimentos) de z_1,z_2 e \theta_{1},\theta_{2} são os argumentos (ângulos) em relação ao eixo real.

Passo 3

Derivação rápida da fórmula (para entender bem): calcular 1/z_{2} na forma trigonométrica e multiplicar por z_{1}.
Começando por 1/z_{2}. Usando a relação para inverso em trigonométrica:
\dfrac{1}{z_{2}}=\dfrac{1}{r_{2}}\big(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2}\big).
Agora multiplica-se z_{1} por 1/z_{2}:
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=r_{1}\big(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}\big)\cdot\dfrac{1}{r_{2}}\big(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2}\big).
Agrupando o fator real:
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\big[(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}) + i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2})\big].
Usando as identidades trigonométricas
\cos(\theta_{1}-\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2},
\sin(\theta_{1}-\theta_{2})=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2},
obtemos
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\big(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\big),
que é exatamente a fórmula anunciada. Essa derivação mostra de onde vem a subtração de ângulos e a divisão dos módulos — legal para decorar com entendimento!

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
  • Módulo: \dfrac{r_{1}}{r_{2}}=\dfrac{6}{3}=2.
  • Ângulo: \theta_{1}-\theta_{2}=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}.
Logo a forma trigonométrica de w é
w=2\big(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\big).

Passo 5

Converter para a forma algébrica a+bi. Usar valores trigonométricos exatos:
\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}.
Substituindo em w:
w=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot\dfrac{1}{2}\right).
Fazendo a multiplicação escalar:
w=\sqrt{3}+i.

Passo 6

Checagem rápida (verificação): multiplicando w por z_{2} em forma trigonométrica deve retornar z_{1}.
w\cdot z_{2}=2\big(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\big)\cdot 3\big(\cos 40^{\circ}+i\sin 40^{\circ}\big) =6\big(\cos(30^{\circ}+40^{\circ})+i\sin(30^{\circ}+40^{\circ})\big) =6\big(\cos 70^{\circ}+i\sin 70^{\circ}\big)=z_{1},
confirmando que o resultado está correto.

Resposta

w=2\big(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\big)
w=\sqrt{3}+i

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