Dados
e
, determine
na forma trigonométrica e algébrica.
Passo 1
O enunciado dá duas formas trigonométricas de números complexos e pede a divisão entre eles:
- Dados
e . - Pede-se determinar
na forma trigonométrica e na forma algébrica (retangular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Módulos:
e . - Argumentos:
e . - Objetivo: encontrar
primeiro em forma trigonométrica e depois em forma .
Passo 2
Motivação do método: como
e
já estão em forma trigonométrica, usar a regra de divisão nessa forma é o caminho mais direto — é rápido e evita cálculo de seno e cosseno intermediário.
Fórmula que vou usar (e o que cada símbolo significa):
- Se
e ,
então
Aqui
são os módulos (comprimentos) de
e
são os argumentos (ângulos) em relação ao eixo real.
Passo 3
Derivação rápida da fórmula (para entender bem): calcular
na forma trigonométrica e multiplicar por
.
Começando por
. Usando a relação para inverso em trigonométrica:
Agora multiplica-se
por
:
Agrupando o fator real:
Usando as identidades trigonométricas
obtemos
que é exatamente a fórmula anunciada. Essa derivação mostra de onde vem a subtração de ângulos e a divisão dos módulos — legal para decorar com entendimento!
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
- Módulo:
- Ângulo:
Logo a forma trigonométrica de
é
Passo 5
Converter para a forma algébrica
. Usar valores trigonométricos exatos:
Substituindo em
:
Fazendo a multiplicação escalar:
Passo 6
Checagem rápida (verificação): multiplicando
por
em forma trigonométrica deve retornar
.
confirmando que o resultado está correto.