Dados os números complexos a=3+8 i, b=9 i, c=-1-3 i e d=3 e^{i 45^{o}}, determine:
w=2 . b . d

Passo 1

O enunciado dá os números complexos a=3+8i, b=9i, c=-1-3i e d=3e^{i45^\circ} e pede para determinar
w = 2\cdot b\cdot d.
Informações relevantes fornecidas:
  • b = 9i.
  • d = 3e^{i45^\circ}.
  • Quer-se o produto w=2bd.

Passo 2

Estratégia e ideia matemática que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • É muito conveniente trabalhar com números complexos em forma polar/exponencial quando há multiplicação: um número complexo pode ser escrito como r e^{i\theta}, onde r é o módulo (valor absoluto) e \theta o argumento (ângulo).
  • Fórmula de Euler (a base da forma exponencial): \,e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\,. Assim a forma polar/exponencial e a forma retangular (a+ib) estão relacionadas.
  • Propriedade central para multiplicação: se z_1=r_1 e^{i\theta_1} e z_2=r_2 e^{i\theta_2}, então
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}.
Ou seja, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Converter b para forma polar/exponencial.
  • b=9i. O módulo é |b|=9.
  • O argumento de i é 90^\circ ou \pi/2 em radianos.
    Portanto
b = 9i = 9 e^{i\pi/2}.

Passo 4

Converter d para radianos (já está em forma exponencial no enunciado).
  • d=3e^{i45^\circ} e 45^\circ=\pi/4, então
d = 3 e^{i\pi/4}.

Passo 5

Calcular o produto b\cdot d usando a propriedade de multiplicação em forma exponencial:
b\cdot d = \bigl(9 e^{i\pi/2}\bigr)\bigl(3 e^{i\pi/4}\bigr) = 27 e^{i(\pi/2+\pi/4)} = 27 e^{i 3\pi/4}.
Expliquei: multipliquei os módulos 9\cdot 3=27 e somei os argumentos \pi/2+\pi/4=3\pi/4.

Passo 6

Multiplicar por 2 e passar para forma retangular (a+ib) para ficar mais familiar:
2\cdot b\cdot d = 2\cdot 27 e^{i 3\pi/4} = 54 e^{i 3\pi/4}.
Agora usar e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta com \theta=3\pi/4 (que é 135^\circ). Sabendo que \cos 135^\circ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin 135^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
54 e^{i 3\pi/4} = 54\Bigl(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão anterior:
54\Bigl(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = 54\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(-1 + i) = 27\sqrt{2}\,(-1 + i).

Resposta

27\sqrt{2}(-1 + i)

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