Dados os números complexos
e
, determine:
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
,
,
e
e pede para determinar
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Quer-se o produto
.
Passo 2
Estratégia e ideia matemática que vamos usar (passo-a-passo didático):
- É muito conveniente trabalhar com números complexos em forma polar/exponencial quando há multiplicação: um número complexo pode ser escrito como
, onde é o módulo (valor absoluto) e o argumento (ângulo). - Fórmula de Euler (a base da forma exponencial):
. Assim a forma polar/exponencial e a forma retangular (a+ib) estão relacionadas. - Propriedade central para multiplicação: se
e , então
Ou seja, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Converter
para forma polar/exponencial.
-
. O módulo é . - O argumento de
é ou em radianos.
Portanto
Passo 4
Converter
para radianos (já está em forma exponencial no enunciado).
-
e , então
Passo 5
Calcular o produto
usando a propriedade de multiplicação em forma exponencial:
Expliquei: multipliquei os módulos
e somei os argumentos
.
Passo 6
Multiplicar por
e passar para forma retangular (a+ib) para ficar mais familiar:
Agora usar
com
(que é
). Sabendo que
e
, obtemos
Passo 7
Simplificar a expressão anterior: