Com os dados abaixo, calcular:
a) erro linear de fechamento;
b) coordenadas parciais compensadas, através do método de compensação proporcional às coordenadas;
c) coordenadas totais, totalizar no ponto 4;
Coordenadas Parciais (m)
Alinhamento Distância(m) E(+) W(-) \mathrm{N}(+) S(-)
MP-1 56,000 30,908 46,698
1-2 47,200 43,916 17,299
2-3 51,500 47,406 20,123
3-4 44,400 20,844 39,203
4-5 52,000 33,886 39,443
5-MP 140,000 135,334 35,841

Passo 1

O enunciado descreve uma poligonal fechada com seis vértices (MP \to 1\to 2\to 3\to 4\to 5\toMP). Temos as componentes de avanço em leste–oeste ( E positivo, W negativo) e norte–sul ( N positivo, S negativo) de cada lado, além do comprimento de cada lado. Pede-se:
a) o erro de fechamento ( \sum\Delta E, \sum\Delta N e o erro linear);
b) as componentes parciais compensadas pelo método proporcional aos comprimentos;
c) as coordenadas totais acumuladas até o ponto 4, tomando MP como (0,0).

Passo 2

Calcular a soma das componentes medidas para avaliar o fechamento.
\sum \Delta E = 30{,}908 + 43{,}916 + 47{,}406 - 20{,}844 + 33{,}886 - 135{,}334 = -0{,}062\text{ m},
\sum \Delta N = 46{,}698 + 17{,}299 - 20{,}123 - 39{,}203 - 39{,}443 + 35{,}841 = +1{,}069\text{ m}.

Passo 3

O erro linear de fechamento é a magnitude do vetor de fechamento:
\text{erro} = \sqrt{(-0{,}062)^2 + (1{,}069)^2} \approx 1{,}070\text{ m}.
O comprimento total da poligonal é
L = 56{,}000 + 47{,}200 + 51{,}500 + 44{,}400 + 52{,}000 + 140{,}000 = 391{,}100\text{ m}.

Passo 4

Para cada lado i com comprimento l_i, a correção em E e em N é
\delta E_i = -\bigl(\sum \Delta E\bigr)\frac{l_i}{L},\qquad \delta N_i = -\bigl(\sum \Delta N\bigr)\frac{l_i}{L}.
Calculando as correções (valores aproximados, em metros):
MP– 1 ( l=56{,}000):
\delta E=+0{,}0089,\\ \delta N=-0{,}1531 1 2 ( l=47{,}200):
\delta E=+0{,}0075,\\ \delta N=-0{,}1290 2 3 ( l=51{,}500):
\delta E=+0{,}0082,\\ \delta N=-0{,}1408 3 4 ( l=44{,}400):
\delta E=+0{,}0070,\\ \delta N=-0{,}1215 4 5 ( l=52{,}000):
\delta E=+0{,}0082,\\ \delta N=-0{,}1420 5–MP ( l=140{,}000):
\delta E=+0{,}0222,\\ \delta N=-0{,}3829.

Passo 5

As componentes compensadas de cada lado são
\Delta E_i'=\Delta E_i+\delta E_i,\quad \Delta N_i'=\Delta N_i+\delta N_i.
Em metros (aprox.):
MP– 1: \Delta E'=30{,}917,\\ \Delta N'=46{,}545 1 2: \Delta E'=43{,}924,\\ \Delta N'=17{,}170 2 3: \Delta E'=47{,}414,\\ \Delta N'=-20{,}264 3 4: \Delta E'=-20{,}837,\\ \Delta N'=-39{,}325 4 5: \Delta E'=33{,}894,\\ \Delta N'=-39{,}585 5–MP: \Delta E'=-135{,}312,\\ \Delta N'=35{,}458.

Passo 6

Acumular as componentes compensadas desde MP até o ponto 4:
E_1=0+30{,}917=30{,}917,\quad N_1=0+46{,}545=46{,}545;
E_2=30{,}917+43{,}924=74{,}841,\quad N_2=46{,}545+17{,}170=63{,}715;
E_3=74{,}841+47{,}414=122{,}255,\quad N_3=63{,}715-20{,}264=43{,}451;
E_4=122{,}255-20{,}837=101{,}418,\quad N_4=43{,}451-39{,}325=4{,}127.

Resposta

a) \sum \Delta E=-0{,}062 m, \sum \Delta N=+1{,}069 m, erro linear \approx 1{,}070 m.
b) Componentes parciais compensadas (em m):
MP– 1: \Delta E'=30{,}917,\\ \Delta N'=46{,}545 1 2: \Delta E'=43{,}924,\\ \Delta N'=17{,}170 2 3: \Delta E'=47{,}414,\\ \Delta N'=-20{,}264 3 4: \Delta E'=-20{,}837,\\ \Delta N'=-39{,}325 4 5: \Delta E'=33{,}894,\\ \Delta N'=-39{,}585 5–MP: \Delta E'=-135{,}312,\\ \Delta N'=35{,}458
c) Coordenadas totais no ponto 4:
\mathrm{E}_4=101{,}418 m, \mathrm{N}_4=4{,}127 m.

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