Com os dados abaixo, determine a expressão matemática da tensão senoidal.
v(t)=50 V \text { para } \alpha=30^{\circ} \text { e } t=1 \mathrm{~ms}

Passo 1

O enunciado diz que a tensão senoidal assume o valor 50\\ \text{V} nas condições \alpha=30^\circ e t=1\\ \text{ms}. Em símbolos: temos a informação
v(1\\ \text{ms}) = 50\\ \text{V}\quad\text{quando}\quad \alpha = 30^\circ.
Devemos escrever a expressão matemática completa de v(t). As informações dadas (um único ponto e um valor de fase) são insuficientes para determinar uma única solução sem alguma escolha adicional; portanto vou explicitar a escolha que torna o problema bem determinado e a justificar.

Passo 2

Forma geral mais usada para uma tensão senoidal (uma forma simples e didática) é
v(t)=V_m\sin(\omega t+\alpha),
onde:
  • V_m é a amplitude de pico (valor máximo da tensão);
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}, relacionada com a frequência f por \omega=2\pi f;
  • \alpha é a defasagem (fase) em radianos.
    Observação importante: se \alpha estiver dado em graus (aqui \alpha=30^\circ) devemos converter para radianos usando 30^\circ=\pi/6. Também lembre: \sin e \cos usam argumento em radianos quando trabalhamos com \omega em \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora usamos a informação puntual dada:
V_m\sin(\omega\cdot 0{,}001+\alpha)=50.
Se tentarmos resolver isso sem nenhuma suposição teremos infinitas soluções (variando V_m e \omega). Para obter uma solução única e simples, escolhemos a hipótese natural e mínima: tomar V_m=50\\ \text{V}. Raciocínio: isso corresponde ao caso em que no instante indicado a tensão atinge seu pico positivo (ou seja, o valor medido de 50\\ \text{V} é o pico). Essa escolha é muito comum em exercícios para obter uma solução única e é compatível com a informação dada. Se preferir outra escolha, o procedimento é análogo e eu posso mostrar depois.

Passo 4

Com V_m=50\\ \text{V} e \alpha=30^\circ=\pi/6 substituímos na equação:
50\sin(\omega\cdot 0{,}001+\tfrac{\pi}{6})=50.
Dividindo por 50 obtemos
\sin(\omega\cdot 0{,}001+\tfrac{\pi}{6})=1.
A função seno vale 1 quando o argumento é \tfrac{\pi}{2}+2k\pi (com k inteiro). Tomando a solução principal com k=0 (a mais simples), temos
\omega\cdot 0{,}001+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}.
Isolando \omega:
\omega\cdot 0{,}001=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3},
portanto
\omega=\frac{\tfrac{\pi}{3}}{0{,}001}=\frac{\pi}{3}\cdot 1000=\frac{1000\pi}{3}\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Se for interessante ter a frequência em hertz, calculamos
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\tfrac{1000\pi}{3}}{2\pi}=\frac{1000}{6}\approx 166{,}666\\ \text{Hz}.
(ou seja f=\dfrac{1000}{6}\\ \text{Hz}).

Passo 6

Agora escrevemos a expressão final da tensão com os valores encontrados. Convertendo a fase para radiano e usando o \omega calculado:
v(t)=50\sin\!\Big(\frac{1000\pi}{3}\,t+\frac{\pi}{6}\Big)\\ \text{V}.
Cheque rápido: em t=1\\ \text{ms}=0{,}001\\ \text{s} o argumento fica \frac{1000\pi}{3}\cdot 0{,}001+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, e \sin(\pi/2)=1, então v(1\\ \text{ms})=50\\ \text{V} como desejado.

Resposta

v(t)=50\sin\!\Big(\frac{1000\pi}{3}\,t+\frac{\pi}{6}\Big)\\ \text{V}

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