1. Se \mathrm{v}(\mathrm{t})=311. sen (377.t) qual o tempo necessário (em segundos) para a onda completar meio ciclo?

Passo 1

O enunciado dá a tensão (ou velocidade) como função do tempo:
v(t)=311\cdot \sin(377\;t).
A pergunta é: qual o tempo necessário (em segundos) para a onda completar meio ciclo?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma senóide com argumento 377\;t.
  • O número 377 multiplica t; isso é a velocidade angular da onda em rad/s.
    O que precisamos encontrar: o intervalo de tempo t que corresponde a meio ciclo (meia oscilação) da senoide.

Passo 2

Entendendo o que significa “meio ciclo” numa senoide.
A função \sin(\theta) completa um ciclo quando o argumento \theta varia de 0 até 2\pi radianos. Portanto:
  • um ciclo completo corresponde a uma variação de 2\pi rad,
  • meio ciclo corresponde a uma variação de \pi rad.
    Para uma senoide da forma \sin(\omega t), a velocidade angular \omega (em rad/s) relaciona tempo e ângulo por \theta=\omega t. Assim o período T (tempo de um ciclo) vem da condição \omega T=2\pi, ou seja:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicando variáveis:
  • \omega é a velocidade angular (em rad/s), aqui \omega=377.
  • T é o tempo de um ciclo (em s).
    Meio ciclo é metade de T, ou diretamente a condição \omega t_{\text{meio}}=\pi.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado. Aqui \omega=377. Primeiro o período:
T=\frac{2\pi}{377}.
Logo o tempo de meio ciclo é
t_{\text{meio}}=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{377}.
Alternativa equivalente (mais direta): resolver \;377\;t=\pi\;\Rightarrow\;t=\dfrac{\pi}{377}.

Passo 4

Avaliação numérica e interpretação. Vamos aproximar \pi por 3{,}14159265. Assim
t_{\text{meio}}=\frac{\pi}{377}\approx \frac{3{,}14159265}{377}\approx 0{,}00833314\\ \text{s}.
Convertendo para milissegundos:
t_{\text{meio}}\approx 8{,}33314\\ \text{ms}.
Checagem rápida: a frequência correspondente é f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{377}{2\pi}\approx 60{,}00\\ \text{Hz}, cujo período é \approx 1/60\approx 0{,}016666\\ \text{s}; metade disso é \approx 0{,}008333\\ \text{s}, coerente com o resultado.

Resposta

\;t=\dfrac{\pi}{377}\approx 0{,}00833314\\ \text{s}

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