Com dados abaixo, determine a faixa de altura da altura h para que o leite caia dentro copo
Dados: \alpha=30^{\circ} ; a=10 \mathrm{~cm} ; b=8 \mathrm{~cm} ; d=15 \mathrm{~cm} (altura do copo); \mathrm{v}_{0}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Temos um jato de leite que sai de uma bica com velocidade inicial \mathrm{v}_0=3\,\mathrm{m/s}, em ângulo \alpha=30^\circ acima da horizontal, e queremos que ele caia dentro de um copo cujo topo está a uma altura d=15\text{ cm}=0,15\,\mathrm{m} acima do solo e cuja base coincide com o solo. O copo está a uma distância horizontal a=10\text{ cm}=0,10\,\mathrm{m} da bica. Definimos h como a altura da bica acima do solo. O que precisamos é da equação do traço da partícula em função de x e impor que, em x=a, a altura y esteja entre 0 e d.

Passo 2

Em cinemática de projétil oblíquo, podemos escrever a altura y em função de x usando
x = \mathrm{v}_0\cos\alpha\;t, \quad y = h + \mathrm{v}_0\sin\alpha\;t - \tfrac12\,g\,t^2.
Eliminando t, obtemos
y(x) = h + x\tan\alpha - \frac{g\,x^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha}.

Passo 3

Para que o jato entre no copo, ao chegar em x=a devemos ter
0 \;\le\; y(a) \;\le\; d.
Substituindo y(a) e isolando h,
y(a)=h + a\tan\alpha - \frac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha},
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0 \le h + a\tan\alpha - \frac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha} \quad\Longrightarrow\quad h \ge -\,a\tan\alpha + \frac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha},
h + a\tan\alpha - \frac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha} \le d \quad\Longrightarrow\quad h \le d - a\tan\alpha + \frac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Usamos
\tan30^\circ = \frac1{\sqrt3},\quad \cos^230^\circ = \frac34,\quad g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2},\quad a=0{,}10\,\mathrm{m},\quad d=0{,}15\,\mathrm{m},\quad \mathrm{v}_0=3\,\mathrm{m/s}.
Primeiro o termo \dfrac{g\,a^2}{2\,\mathrm{v}_0^2\cos^2\alpha}:
\frac{9{,}8\,(0{,}10)^2}{2\cdot9\cdot\frac34} = \frac{9{,}8\cdot0{,}01}{13{,}5} \approx 0{,}00726\,\mathrm{m}.
E a\tan30^\circ=0{,}10\cdot\frac1{\sqrt3}\approx0{,}0577\,\mathrm{m}.
Portanto
h_{\min} = -\,0{,}0577 + 0{,}00726 \approx -0{,}0505\,\mathrm{m},
h_{\max} = 0{,}15 - 0{,}0577 + 0{,}00726 \approx 0{,}0995\,\mathrm{m}.

Resposta

-0{,}0505\,\mathrm{m} \;\le\; h \;\le\; 0{,}0995\,\mathrm{m}.
Em centímetros,
-5{,}05\text{ cm} \;\le\; h \;\le\; 9{,}95\text{ cm}.

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