Um bloco de alumínio, de 12,0 \mathrm{~g}, vai ser aquecido, a volume constante, desde 80 K até 180 K. Que quantidade de calor será necessária, de acordo com a teoria quântica da capacidade calorífica de Einstein? A temperatura de Einstein para o alumínio pode ser considerada igual a 290 K.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de alumínio de m=12{,}0\\ \mathrm{g} vai de T_1=80\\ \mathrm{K} até T_2=180\\ \mathrm{K} a volume constante. Precisamos usar a teoria quântica de Einstein para a capacidade calorífica, cuja temperatura característica é \Theta_E=290\\ \mathrm{K}. Para isso vamos precisar da massa molar do alumínio M=26{,}98\\ \mathrm{g/mol} e da constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 2

Na teoria de Einstein, a capacidade calorífica molar a volume constante é dada por
C_{V,m}(T) =3R\, \Bigl(\frac{\Theta_E}{T}\Bigr)^{2} \frac{e^{\Theta_E/T}}{\bigl(e^{\Theta_E/T}-1\bigr)^{2}}.

Passo 3

A quantidade de calor é
Q =n\int_{T_1}^{T_2}C_{V,m}(T)\,dT,
onde o número de mols é
n=\frac{m}{M} =\frac{12{,}0\\ \mathrm{g}}{26{,}98\\ \mathrm{g/mol}}\approx0{,}4446\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Para integrar fazemos a troca de variável
x=\frac{\Theta_E}{T} \quad\Longrightarrow\quad dT=-\frac{\Theta_E}{x^{2}}\,dx.
Então
\int_{T_1}^{T_2} 3R\Bigl(\frac{\Theta_E}{T}\Bigr)^{2}\frac{e^{\Theta_E/T}}{(e^{\Theta_E/T}-1)^{2}}\,dT =3R\,\Theta_E \int_{x_2}^{x_1}\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}\,dx.
Como
\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{e^{x}-1}\Bigr] =-\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}},
vem
\int_{x_2}^{x_1}\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{e^{x}-1}\Bigr]_{x_2}^{x_1} =\frac{1}{e^{x_2}-1}-\frac{1}{e^{x_1}-1}.

Passo 5

Os limites em x são
x_1=\frac{\Theta_E}{T_1}=\frac{290}{80}\approx3{,}625, \quad x_2=\frac{\Theta_E}{T_2}=\frac{290}{180}\approx1{,}611.
Logo
\int_{T_1}^{T_2}C_{V,m}(T)\,dT =3R\,\Theta_E\Bigl(\frac{1}{e^{1{,}611}-1}-\frac{1}{e^{3{,}625}-1}\Bigr).

Passo 6

Calculando numericamente:
3R\,\Theta_E=3\cdot8{,}314\cdot290\approx7\,233{,}2\\ \mathrm{J/mol},
\frac{1}{e^{1{,}611}-1}\approx0{,}2499, \quad \frac{1}{e^{3{,}625}-1}\approx0{,}0273,
\int_{T_1}^{T_2}C_{V,m}\,dT \approx7\,233{,}2\,(0{,}2499-0{,}0273) \approx7\,233{,}2\times0{,}2226\approx1\,610{,}4\\ \mathrm{J/mol}.
Multiplicando por n:
Q=n\times1\,610{,}4\approx0{,}4446\times1\,610{,}4\approx716{,}3\\ \mathrm{J}.

Resposta

A quantidade de calor necessária é cerca de 7,16\times10^{2}\\ \mathrm{J}.

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