Os dados abaixo, se referem a um experimento instalado segundo DBC, em que os tratamentos, 5 produtos comerciais (aditivos) para suprir deficiência de resistência em concretos de alto desempenho, foram introduzidos os quais foram separados em 3 grupos segundo a idade. Os resultados obtidos, expressos em MPa, foram os seguintes:
Produtos comerciais
Bloco
1
2
3
4
5
Totais
1
83
86
103
116
132
520
2
63
69
79
81
98
390
3
55
61
79
79
91
365
Totais
201
216
261
276
321
1275
Pede-se proceder ANOVA e aplicar o teste Tukey e Ducan, usando o nível de 5% de probabilidade.
| Produtos comerciais | ||||||
| Bloco | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Totais |
| 1 | 83 | 86 | 103 | 116 | 132 | 520 |
| 2 | 63 | 69 | 79 | 81 | 98 | 390 |
| 3 | 55 | 61 | 79 | 79 | 91 | 365 |
| Totais | 201 | 216 | 261 | 276 | 321 | 1275 |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números da tabela fornecida).
- Há
tratamentos (Produtos 1 a 5) e blocos (as 3 idades). Há uma observação por combinação, logo . - Observações (linhas = blocos, colunas = tratamentos):
- Bloco 1:
(total do bloco ) - Bloco 2:
(total do bloco ) - Bloco 3:
(total do bloco )
- Bloco 1:
- Totais por tratamento (peguei da tabela):
. - Total geral (peguei da tabela):
. - O que se pede:
- Proceder a ANOVA para o Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) ao nível
. - Aplicar o teste de comparações múltiplas de Tukey e o de Duncan (também a
) a fim de identificar quais tratamentos diferem entre si.
- Proceder a ANOVA para o Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) ao nível
Passo 2
Preparação: médias e média geral.
- Número de repetições por tratamento (cada tratamento aparece em cada bloco):
. - Médias dos tratamentos (média de cada coluna):
.
- Média geral:
Explicação didática rápida: em DBC cada tratamento tem o mesmo número de repetições
. As comparações entre tratamentos usam as médias
. A média geral
serve para calcular a variabilidade total.
Passo 3
Cálculo das somas de quadrados (passo a passo e explicando as fórmulas).
Fórmulas básicas (DBC):
- Soma dos quadrados total:
- Soma dos quadrados de tratamentos:
- Soma dos quadrados de blocos:
onde é o total do bloco . - Soma dos quadrados do erro/residual:
Cálculo numérico (peguei os
dos dados e os totais da tabela):
-
-
- Logo
- Soma dos quadrados dos tratamentos:
- Soma dos quadrados dos blocos (peguei os totais de blocos
):
- Erro:
Explicação didática: o termo
é a correção para a média;
é a soma dos quadrados das observações. Subtraindo a correção tiramos a variabilidade em torno da média geral. A decomposição separa variabilidade explicada por tratamentos, por blocos e o que sobra (erro).
Passo 4
Tabela ANOVA com graus de liberdade, quadrados médios e estatística
.
- Graus de liberdade:
- Quadrados médios (MS):
- Estatísticas
:
Comparação com os valores críticos (nível
):
- Valor crítico aproximado
é cerca de . Como , rejeita-se a hipótese nula de que todas as médias de tratamentos são iguais. - Valor crítico aproximado
é cerca de . Como , também há efeito significativo de blocos.
Interpretação didática: valores
muito maiores que o crítico mostram que a variação entre médias de tratamentos (e entre blocos) não pode ser atribuída ao acaso; há diferenças reais.
Passo 5
Preparando os testes de comparações múltiplas (o que se usa e por quê).
- Para Tukey usamos a amplitude studentizada crítica
com parâmetros . A diferença mínima significativa (HSD) entre duas médias, igual número de repetições , é: Aqui e . - Para Duncan usa-se também a escala da amplitude studentizada, mas o procedimento é stepwise: para uma diferença entre médias que distam
posições na ordenação das médias, usa-se . O teste de Duncan é menos conservador que Tukey (mais sensível a declarar diferenças).
Cálculo do termo
que aparece em ambos:
Explicação didática:
é o erro padrão da diferença entre duas médias de tratamentos quando cada média é a média de
observações. A constante
ajusta para múltiplas comparações.
Passo 6
Teste de Tukey (cálculo da HSD e decisões).
- Preciso do valor crítico
. Pela tabela da amplitude studentizada, toma-se aproximadamente (valor tabulado arredondado). - Então
- Médias dos tratamentos (ordem crescente, já calculadas):
- Diferenças absolutas entre médias (par a par) e comparação com
:
Conclusão do Tukey (agrupamentos): podemos reunir tratamentos que não diferem entre si:
- Tratamentos 1 e 2 (
) não diferem entre si. - Tratamentos 3 e 4 (
) não diferem entre si. - Tratamento 5 (
) difere de todos os outros. - Além disso, conjuntos
são significativamente menores que , e ambos são significativamente menores que .
Passo 7
Teste de Duncan (procedimento passo a passo e decisões).
Explicando o procedimento didático: ordenam-se as médias e, começando do maior extremo, compara-se com as médias mais baixas por “alcances” de tamanho
(número de meios incluídos). Para cada alcance usa-se o valor crítico
. Se a diferença máxima do alcance é significativa, então as médias nos extremos do alcance são consideradas diferentes; caso contrário são agrupadas.
Valores aproximados da amplitude studentizada para
(tabelas):
-
(isto pode ser obtido por ), -
, -
, -
(igual ao usado no Tukey para ).
Multiplicando por
, obtemos os limites críticos de Duncan:
Aplicação (medias ordenadas:
):
- Comparando extremo maior
com os demais (alcances ): -
⇒ significativo. -
⇒ significativo. -
⇒ significativo. -
⇒ significativo.
Portanto(tratamento 5) forma grupo separado.
-
- Agora comparar
com os menores: -
⇒ significativo. -
⇒ significativo. -
⇒ não significativo.
Portantoe não diferem entre si e formam um grupo.
-
- Finalmente,
e : -
⇒ não significativo.
Edifere de (já visto).
-
Conclusão do Duncan: os agrupamentos coincidem com os do Tukey:
- Grupo baixo: tratamentos
e ( ) — não diferem entre si. - Grupo médio: tratamentos
e ( ) — não diferem entre si. - Grupo alto: tratamento
( ) — difere de todos os outros.
Resposta
ANOVA:
(significativo a
);
(significativo a
);
.
Tukey (5%):
. Agrupamentos:
(1 e 2 não diferem; 3 e 4 não diferem; 5 difere de todos).
Duncan (5%): procedimentos e limites levam ao mesmo resultado prático: agrupamentos
.