Os dados abaixo, se referem a um experimento instalado segundo DBC, em que os tratamentos, 5 produtos comerciais (aditivos) para suprir deficiência de resistência em concretos de alto desempenho, foram introduzidos os quais foram separados em 3 grupos segundo a idade. Os resultados obtidos, expressos em MPa, foram os seguintes:
Produtos comerciais
Bloco 1 2 3 4 5 Totais
1 83 86 103 116 132 520
2 63 69 79 81 98 390
3 55 61 79 79 91 365
Totais 201 216 261 276 321 1275
Pede-se proceder ANOVA e aplicar o teste Tukey e Ducan, usando o nível de 5% de probabilidade.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números da tabela fornecida).
  • t=5 tratamentos (Produtos 1 a 5) e b=3 blocos (as 3 idades). Há uma observação por combinação, logo N=tb=15.
  • Observações (linhas = blocos, colunas = tratamentos):
    • Bloco 1: 83,\;86,\;103,\;116,\;132 (total do bloco =520)
    • Bloco 2: 63,\;69,\;79,\;81,\;98 (total do bloco =390)
    • Bloco 3: 55,\;61,\;79,\;79,\;91 (total do bloco =365)
  • Totais por tratamento (peguei da tabela): T_1=201,\;T_2=216,\;T_3=261,\;T_4=276,\;T_5=321.
  • Total geral (peguei da tabela): G=1275.
  • O que se pede:
    1. Proceder a ANOVA para o Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) ao nível \alpha=0,05.
    2. Aplicar o teste de comparações múltiplas de Tukey e o de Duncan (também a 5\%) a fim de identificar quais tratamentos diferem entre si.

Passo 2

Preparação: médias e média geral.
  • Número de repetições por tratamento (cada tratamento aparece em cada bloco): r=b=3.
  • Médias dos tratamentos (média de cada coluna): \bar{X}_{j} = T_j / b. \bar{X}_1=\dfrac{201}{3}=67,\quad \bar{X}_2=\dfrac{216}{3}=72,\quad \bar{X}_3=\dfrac{261}{3}=87,
\bar{X}_4=\dfrac{276}{3}=92,\quad \bar{X}_5=\dfrac{321}{3}=107.
  • Média geral: \bar{X}=\dfrac{G}{N}=\dfrac{1275}{15}=85.
Explicação didática rápida: em DBC cada tratamento tem o mesmo número de repetições r. As comparações entre tratamentos usam as médias \bar{X}_j. A média geral \bar{X} serve para calcular a variabilidade total.

Passo 3

Cálculo das somas de quadrados (passo a passo e explicando as fórmulas).
Fórmulas básicas (DBC):
  • Soma dos quadrados total: SS_{T}=\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{2}-\dfrac{G^{2}}{N}.
  • Soma dos quadrados de tratamentos: SS_{\text{trat}}=\dfrac{1}{b}\sum_{j=1}^{t} T_j^{2}-\dfrac{G^{2}}{N}.
  • Soma dos quadrados de blocos: SS_{\text{bloco}}=\dfrac{1}{t}\sum_{i=1}^{b} B_i^{2}-\dfrac{G^{2}}{N},onde B_i é o total do bloco i.
  • Soma dos quadrados do erro/residual: SS_{E}=SS_{T}-SS_{\text{trat}}-SS_{\text{bloco}}.
Cálculo numérico (peguei os x^2 dos dados e os totais da tabela):
  • \sum x_i^2 = 114419.
  • G^2/N = \dfrac{1275^2}{15}=\dfrac{1625625}{15}=108375.
  • Logo SS_{T}=114419-108375=6044.
  • Soma dos quadrados dos tratamentos: \sum T_j^2 =201^2+216^2+261^2+276^2+321^2=334395,
SS_{\text{trat}}=\dfrac{334395}{3}-108375=111465-108375=3090.
  • Soma dos quadrados dos blocos (peguei os totais de blocos 520,390,365): \sum B_i^2=520^2+390^2+365^2=555725,
SS_{\text{bloco}}=\dfrac{555725}{5}-108375=111145-108375=2770.
  • Erro: SS_E = 6044-3090-2770=184.
Explicação didática: o termo \dfrac{G^2}{N} é a correção para a média; \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das observações. Subtraindo a correção tiramos a variabilidade em torno da média geral. A decomposição separa variabilidade explicada por tratamentos, por blocos e o que sobra (erro).

Passo 4

Tabela ANOVA com graus de liberdade, quadrados médios e estatística F.
  • Graus de liberdade: df_{T}=N-1=15-1=14,\quad df_{\text{trat}}=t-1=5-1=4,
df_{\text{bloco}}=b-1=3-1=2,\quad df_{E}=(t-1)(b-1)=4\cdot2=8.
  • Quadrados médios (MS): MS_{\text{trat}}=\dfrac{SS_{\text{trat}}}{df_{\text{trat}}}=\dfrac{3090}{4}=772{,}5,
MS_{\text{bloco}}=\dfrac{2770}{2}=1385,
MS_E=\dfrac{184}{8}=23.
  • Estatísticas F: F_{\text{trat}}=\dfrac{MS_{\text{trat}}}{MS_E}=\dfrac{772{,}5}{23}\approx 33{,}59,
F_{\text{bloco}}=\dfrac{MS_{\text{bloco}}}{MS_E}=\dfrac{1385}{23}\approx 60{,}22.
Comparação com os valores críticos (nível \alpha=0{,}05):
  • Valor crítico aproximado F_{4,8;0{,}95} é cerca de 3{,}84. Como F_{\text{trat}}\approx33{,}6\gg 3{,}84, rejeita-se a hipótese nula de que todas as médias de tratamentos são iguais.
  • Valor crítico aproximado F_{2,8;0{,}95} é cerca de 4{,}46. Como F_{\text{bloco}}\approx60{,}22\gg 4{,}46, também há efeito significativo de blocos.
Interpretação didática: valores F muito maiores que o crítico mostram que a variação entre médias de tratamentos (e entre blocos) não pode ser atribuída ao acaso; há diferenças reais.

Passo 5

Preparando os testes de comparações múltiplas (o que se usa e por quê).
  • Para Tukey usamos a amplitude studentizada crítica q com parâmetros (k=t,\; df=df_E). A diferença mínima significativa (HSD) entre duas médias, igual número de repetições r, é: HSD = q_{\alpha;t,df_E}\sqrt{\dfrac{MS_E}{r}}.Aqui r=b=3 e MS_E=23.
  • Para Duncan usa-se também a escala da amplitude studentizada, mas o procedimento é stepwise: para uma diferença entre médias que distam r posições na ordenação das médias, usa-se q_{r,df_E}. O teste de Duncan é menos conservador que Tukey (mais sensível a declarar diferenças).
Cálculo do termo \sqrt{MS_E/r} que aparece em ambos:
\sqrt{\dfrac{MS_E}{r}}=\sqrt{\dfrac{23}{3}}=\sqrt{7{,}666\ldots}\approx 2{,}767.
Explicação didática: \sqrt{MS_E/r} é o erro padrão da diferença entre duas médias de tratamentos quando cada média é a média de r observações. A constante q ajusta para múltiplas comparações.

Passo 6

Teste de Tukey (cálculo da HSD e decisões).
  • Preciso do valor crítico q_{0{,}05; t=5,\;df_E=8}. Pela tabela da amplitude studentizada, toma-se aproximadamente q\approx 4{,}11 (valor tabulado arredondado).
  • Então HSD = 4{,}11\times 2{,}767\approx 11{,}36.
  • Médias dos tratamentos (ordem crescente, já calculadas): 67,\;72,\;87,\;92,\;107.
  • Diferenças absolutas entre médias (par a par) e comparação com HSD: \begin{array}{l} |67-72|=5 <11{,}36\quad\text{(não sig.)}\\\ |67-87|=20 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |67-92|=25 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |67-107|=40 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |72-87|=15 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |72-92|=20 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |72-107|=35 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |87-92|=5 <11{,}36\quad\text{(não sig.)}\\\ |87-107|=20 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)}\\\ |92-107|=15 \ge 11{,}36\quad\text{(sign.)} \end{array}ãã
Conclusão do Tukey (agrupamentos): podemos reunir tratamentos que não diferem entre si:
  • Tratamentos 1 e 2 ( \bar{X}=67,\;72) não diferem entre si.
  • Tratamentos 3 e 4 ( \bar{X}=87,\;92) não diferem entre si.
  • Tratamento 5 ( \bar{X}=107) difere de todos os outros.
  • Além disso, conjuntos \{1,2\} são significativamente menores que \{3,4\}, e ambos são significativamente menores que \{5\}.

Passo 7

Teste de Duncan (procedimento passo a passo e decisões).
Explicando o procedimento didático: ordenam-se as médias e, começando do maior extremo, compara-se com as médias mais baixas por “alcances” de tamanho r (número de meios incluídos). Para cada alcance usa-se o valor crítico q_{r,df_E}. Se a diferença máxima do alcance é significativa, então as médias nos extremos do alcance são consideradas diferentes; caso contrário são agrupadas.
Valores aproximados da amplitude studentizada para df_E=8 (tabelas):
  • q_{2,8}\approx 3{,}262 (isto pode ser obtido por \sqrt{2}\,t_{0{,}025,8}),
  • q_{3,8}\approx 3{,}69,
  • q_{4,8}\approx 3{,}95,
  • q_{5,8}\approx 4{,}11 (igual ao usado no Tukey para r=5).
Multiplicando por \sqrt{MS_E/r}\approx 2{,}767, obtemos os limites críticos de Duncan:
\begin{array}{l} D_2=3{,}262\times2{,}767\approx 9{,}02,\\\ D_3=3{,}69\times2{,}767\approx 10{,}21,\\\ D_4=3{,}95\times2{,}767\approx 10{,}93,\\\ D_5=4{,}11\times2{,}767\approx 11{,}36. \end{array}
Aplicação (medias ordenadas: 67,72,87,92,107):
  • Comparando extremo maior 107 com os demais (alcances r=5,4,3,2):
    • 107-67=40 > D_5(=11{,}36) ⇒ significativo.
    • 107-72=35 > D_4(=10{,}93) ⇒ significativo.
    • 107-87=20 > D_3(=10{,}21) ⇒ significativo.
    • 107-92=15 > D_2(=9{,}02) ⇒ significativo.
      Portanto 107 (tratamento 5) forma grupo separado.
  • Agora comparar 92 com os menores:
    • 92-67=25 > D_4(=10{,}93) ⇒ significativo.
    • 92-72=20 > D_3(=10{,}21) ⇒ significativo.
    • 92-87=5 < D_2(=9{,}02) ⇒ não significativo.
      Portanto 92 e 87 não diferem entre si e formam um grupo.
  • Finalmente, 72 e 67:
    • 72-67=5 < D_2(=9{,}02) ⇒ não significativo.
      E 72 difere de 87 (já visto).
Conclusão do Duncan: os agrupamentos coincidem com os do Tukey:
  • Grupo baixo: tratamentos 1 e 2 ( 67,\;72) — não diferem entre si.
  • Grupo médio: tratamentos 3 e 4 ( 87,\;92) — não diferem entre si.
  • Grupo alto: tratamento 5 ( 107) — difere de todos os outros.

Resposta

ANOVA: SS_{\text{trat}}=3090,\;df_{\text{trat}}=4,\;MS_{\text{trat}}=772{,}5,\;F_{\text{trat}}\approx33{,}59 (significativo a 5\%); SS_{\text{bloco}}=2770,\;df_{\text{bloco}}=2,\;MS_{\text{bloco}}=1385,\;F_{\text{bloco}}\approx60{,}22 (significativo a 5\%); SS_E=184,\;df_E=8,\;MS_E=23.
Tukey (5%): HSD\approx11{,}36. Agrupamentos: \{1,2\} < \{3,4\} < \{5\} (1 e 2 não diferem; 3 e 4 não diferem; 5 difere de todos).
Duncan (5%): procedimentos e limites levam ao mesmo resultado prático: agrupamentos \{1,2\} < \{3,4\} < \{5\}.

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