Grupo de contraste \left\{\begin{array}{l}Y_{1}=m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4} \\\ Y_{2}=m_{1}-m_{2} \\\ Y_{3}=m_{3}-m_{4}\end{array}\right.
Aplique os testes t e de Scheffé ao grupo de contrastes apresentado acima. (Considere \alpha=5 \% ).
Passo 1
O enunciado nos dá claramente os seguintes dados (peguei as médias e os valores da ANOVA do enunciado):
Médias por tratamento:
Aditivo “Ácido Forte”: [m_{1}=14{,}81)
Aditivo “Ácido Fraco”: m_{2}=6{,}56
Aditivo “Base Forte”: m_{3}=10{,}06
Aditivo “Base Fraca”: m_{4}=10{,}09
Número de observações em cada tratamento: n_{1}=n_{2}=n_{3}=n_{4}=10. Portanto k=4 tratamentos e N=40 observações.
Do quadro da ANOVA (peguei estes números da tabela):
Soma dos quadrados do resíduo: \text{SQ}_{\text{res}}=6{,}0264
Gl do resíduo: 36
Logo o quadrado médio do resíduo (estimador da variância experimental) já foi dado: \text{QM}_{\text{res}}=0{,}1674. Vou usar \text{MS}_{\text{res}}=0{,}1674.
Grupo de contrastes (cada Y_j é um contraste linear das médias):
O objetivo: aplicar o teste t\] (teste t para contrastes) e o teste de Scheffé para cada um desses contrastes, ao nível de significância \(\alpha=5\%.]
Passo 2
Calcular as estimativas dos contrastes (usar as médias fornecidas).
Contraste Y_{3} com coeficientes c=(0,0,1,-1).
Mesma soma dos quadrados que Y_{2} (porque tem dois coeficientes \pm1):\operatorname{SE}(\hat{Y}_{3})\approx0{,}1830, \qquad t_{3}=\frac{\hat{Y}_{3}}{\operatorname{SE}(\hat{Y}_{3})}=\frac{-0{,}03}{0{,}1830}\approx-0{,}16.
Graus de liberdade para o teste t: df=N-k=36. Valor crítico bilateral para \alpha=0{,}05: t_{0{,}975;36}\approx2{,}028.
|t_{3}|\approx0{,}16<2{,}028\Rightarrow não rejeita H_{0}:\\ Y_{3}=0 (não significativo).
Passo 5
Aplicar o teste de Scheffé (explicação e cálculo).
Ideia do teste de Scheffé para contrastes: fornece uma região de aceitação conjunta para todos os contrastes lineares. Para um contraste L rejeita-se H_{0}:L=0 se
Comparando com (k-1)F\approx8{,}598: 22{,}23>8{,}598\Rightarrow rejeita H_{0} pelo critério de Scheffé (significativo).
Alternativamente o limite em termos de valor absoluto:
Para Y_{3}:
Mesma denominação que Y_{2}: 0{,}03348.\frac{\hat{Y}_{3}^{2}}{\text{denom}}=\frac{(-0{,}03)^{2}}{0{,}03348}=\frac{0{,}0009}{0{,}03348}\approx0{,}0269.Comparando com 8{,}598: 0{,}0269<8{,}598\Rightarrow não rejeita H_{0} (não significativo).
Limite absoluto: |\hat{Y}_{3}|=0{,}03<0{,}537.
Passo 6
Interpretação final curta (resumo das decisões dos dois testes, para cada contraste).
Os resultados dos dois procedimentos (teste t e Scheffé) coincidem neste caso:
Y_{1} (diferença m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4}): significativo ao nível 5\%.
Y_{2} (diferença m_{1}-m_{2}): significativo ao nível 5\% (fortemente).
Y_{3} (diferença m_{3}-m_{4}): não significativo ao nível 5\%.
Resposta
Y_{1}=1{,}22:\\ t=4{,}71\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{1}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx22{,}23>(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow significativo. Y_{2}=8{,}25:\\ t=45{,}08\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{2}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx2033{,}3>(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow significativo. Y_{3}=-0{,}03:\\ t=-0{,}16\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow não significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{3}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx0{,}0269<(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow não significativo.