Consideremos o exercício 8 . Neste tem-se:
Aditivo a base de Ácido Forte Ácido Fraco Base Forte Base Fraca
Médias 14,81 6,56 10,06 10,09
\mathrm{N}^{\circ} de carros 10 10 10 10
Quadro da ANOVA
FV GL SQ QM F
Tratamentos 3 344,0380 114,6790 685,06
Resíduo 36 6,0264 0,1674
Total 39
  • Significativo ao nível de 5 \% de probabilidade
Grupo de contraste \left\{\begin{array}{l}Y_{1}=m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4} \\\ Y_{2}=m_{1}-m_{2} \\\ Y_{3}=m_{3}-m_{4}\end{array}\right.
Aplique os testes t e de Scheffé ao grupo de contrastes apresentado acima. (Considere \alpha=5 \% ).

Passo 1

O enunciado nos dá claramente os seguintes dados (peguei as médias e os valores da ANOVA do enunciado):
  • Médias por tratamento:
    • Aditivo “Ácido Forte”: [m_{1}=14{,}81)
    • Aditivo “Ácido Fraco”: m_{2}=6{,}56
    • Aditivo “Base Forte”: m_{3}=10{,}06
    • Aditivo “Base Fraca”: m_{4}=10{,}09
  • Número de observações em cada tratamento: n_{1}=n_{2}=n_{3}=n_{4}=10. Portanto k=4 tratamentos e N=40 observações.
  • Do quadro da ANOVA (peguei estes números da tabela):
    • Soma dos quadrados do resíduo: \text{SQ}_{\text{res}}=6{,}0264
    • Gl do resíduo: 36
    • Logo o quadrado médio do resíduo (estimador da variância experimental) já foi dado: \text{QM}_{\text{res}}=0{,}1674. Vou usar \text{MS}_{\text{res}}=0{,}1674.
  • Grupo de contrastes (cada Y_j é um contraste linear das médias):
    \begin{cases} Y_{1}=m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4},\\[6pt] Y_{2}=m_{1}-m_{2},\\[6pt] Y_{3}=m_{3}-m_{4}. \end{cases}
O objetivo: aplicar o teste t\] (teste t para contrastes) e o teste de Scheffé para cada um desses contrastes, ao nível de significância \(\alpha=5\%.]

Passo 2

Calcular as estimativas dos contrastes (usar as médias fornecidas).
  • Para Y_{1}:
    \hat{Y}_{1}=m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4}=14{,}81+6{,}56-10{,}06-10{,}09=1{,}22.
  • Para Y_{2}:
    \hat{Y}_{2}=m_{1}-m_{2}=14{,}81-6{,}56=8{,}25.
  • Para Y_{3}:
    \hat{Y}_{3}=m_{3}-m_{4}=10{,}06-10{,}09=-0{,}03.
Vou usar estes valores como estimativas pontuais dos contrastes.

Passo 3

Relembrar e calcular o erro padrão (SE) de uma estimativa de contraste.
  • Regra geral: se um contraste é L=\sum_{i=1}^{k} c_{i}\mu_{i} e a estimativa é \hat{L}=\sum_{i} c_{i}\bar{x}_{i}, então
    \operatorname{Var}(\hat{L})=\text{MS}_{\text{res}}\sum_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}.
    Portanto o erro padrão é
    \operatorname{SE}(\hat{L})=\sqrt{\text{MS}_{\text{res}}\sum_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}}.
    Aqui c_{i} são os coeficientes do contraste e n_{i} os tamanhos de amostra (iguais a 10 neste problema).
  • Calcular a raiz da variância residual (desvio-padrão estimado) só para referência:
    s=\sqrt{\text{MS}_{\text{res}}}=\sqrt{0{,}1674}\approx0{,}4092.

Passo 4

Calcular o \operatorname{SE} e a estatística t para cada contraste.
  1. Contraste Y_{1} com coeficientes c=(1,1,-1,-1). \sum_{i=1}^{4}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}=\frac{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4.
\operatorname{SE}(\hat{Y}_{1})=\sqrt{0{,}1674\cdot0{,}4}=\sqrt{0{,}06696}\approx0{,}2589.
Estatística t:
t_{1}=\frac{\hat{Y}_{1}}{\operatorname{SE}(\hat{Y}_{1})}=\frac{1{,}22}{0{,}2589}\approx4{,}71.
  1. Contraste Y_{2} com coeficientes c=(1,-1,0,0). \sum_{i}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}=\frac{1^{2}+(-1)^{2}}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2.
\operatorname{SE}(\hat{Y}_{2})=\sqrt{0{,}1674\cdot0{,}2}=\sqrt{0{,}03348}\approx0{,}1830.
t_{2}=\frac{\hat{Y}_{2}}{\operatorname{SE}(\hat{Y}_{2})}=\frac{8{,}25}{0{,}1830}\approx45{,}08.
  1. Contraste Y_{3} com coeficientes c=(0,0,1,-1).
    Mesma soma dos quadrados que Y_{2} (porque tem dois coeficientes \pm1): \operatorname{SE}(\hat{Y}_{3})\approx0{,}1830, \qquad t_{3}=\frac{\hat{Y}_{3}}{\operatorname{SE}(\hat{Y}_{3})}=\frac{-0{,}03}{0{,}1830}\approx-0{,}16.
  • Graus de liberdade para o teste t: df=N-k=36. Valor crítico bilateral para \alpha=0{,}05: t_{0{,}975;36}\approx2{,}028.
  • Decisão pelo teste t (bilateral):
    • |t_{1}|\approx4{,}71>2{,}028 \Rightarrow rejeita H_{0}:\\ Y_{1}=0 (significativo).
    • |t_{2}|\approx45{,}08>2{,}028 \Rightarrow rejeita H_{0}:\\ Y_{2}=0 (altamente significativo).
    • |t_{3}|\approx0{,}16<2{,}028 \Rightarrow não rejeita H_{0}:\\ Y_{3}=0 (não significativo).

Passo 5

Aplicar o teste de Scheffé (explicação e cálculo).
  • Ideia do teste de Scheffé para contrastes: fornece uma região de aceitação conjunta para todos os contrastes lineares. Para um contraste L rejeita-se H_{0}:L=0 se
    \frac{\hat{L}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum_{i}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}}>(k-1)\,F_{\alpha;k-1,N-k}.
    Alternativamente, rejeita-se se
    |\hat{L}|>\sqrt{(k-1)\,F_{\alpha;k-1,N-k}\,\text{MS}_{\text{res}}\sum_{i}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}} }.
  • Aqui k=4 então k-1=3. Para \alpha=0{,}05 e graus (3,36) o valor crítico F_{0{,}95;3,36}\approx2{,}866 (tabela F). Então
    (k-1)\,F_{\alpha;k-1,N-k}=3\times2{,}866\approx8{,}598.
Calcular a quantidade à esquerda (ou o limite) para cada contraste:
  1. Para Y_{1}: \text{denom}=\text{MS}_{\text{res}}\sum\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}=0{,}1674\times0{,}4=0{,}06696.
\frac{\hat{Y}_{1}^{2}}{\text{denom}}=\frac{1{,}22^{2}}{0{,}06696}=\frac{1{,}4884}{0{,}06696}\approx22{,}23.
Comparando com (k-1)F\approx8{,}598: 22{,}23>8{,}598 \Rightarrow rejeita H_{0} pelo critério de Scheffé (significativo).
Alternativamente o limite em termos de valor absoluto:
\text{limite}=\sqrt{8{,}598\times0{,}06696}\approx0{,}759,\quad |\hat{Y}_{1}|=1{,}22>0{,}759.
  1. Para Y_{2}: \text{denom}=0{,}1674\times0{,}2=0{,}03348.
\frac{\hat{Y}_{2}^{2}}{\text{denom}}=\frac{8{,}25^{2}}{0{,}03348}=\frac{68{,}0625}{0{,}03348}\approx2033{,}3.
Comparando com 8{,}598: 2033{,}3\gg8{,}598 \Rightarrow rejeita H_{0} (altamente significativo).
Limite absoluto:
\text{limite}=\sqrt{8{,}598\times0{,}03348}\approx0{,}537,\quad |\hat{Y}_{2}|=8{,}25>0{,}537.
  1. Para Y_{3}:
    Mesma denominação que Y_{2}: 0{,}03348. \frac{\hat{Y}_{3}^{2}}{\text{denom}}=\frac{(-0{,}03)^{2}}{0{,}03348}=\frac{0{,}0009}{0{,}03348}\approx0{,}0269.Comparando com 8{,}598: 0{,}0269<8{,}598 \Rightarrow não rejeita H_{0} (não significativo).
    Limite absoluto: |\hat{Y}_{3}|=0{,}03<0{,}537.

Passo 6

Interpretação final curta (resumo das decisões dos dois testes, para cada contraste).
  • Os resultados dos dois procedimentos (teste t e Scheffé) coincidem neste caso:
    • Y_{1} (diferença m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4}): significativo ao nível 5\%.
    • Y_{2} (diferença m_{1}-m_{2}): significativo ao nível 5\% (fortemente).
    • Y_{3} (diferença m_{3}-m_{4}): não significativo ao nível 5\%.

Resposta

Y_{1}=1{,}22:\\ t=4{,}71\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{1}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx22{,}23>(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow significativo.
Y_{2}=8{,}25:\\ t=45{,}08\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{2}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx2033{,}3>(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow significativo.
Y_{3}=-0{,}03:\\ t=-0{,}16\\ (\text{gl}=36)\Rightarrow não significativo pelo teste t (bilateral, \alpha=0{,}05); Scheffé: \dfrac{\hat{Y}_{3}^{2}}{\text{MS}_{\text{res}}\sum c_{i}^{2}/n_{i}}\approx0{,}0269<(k-1)F_{0{,}95;3,36}\Rightarrow não significativo.

Exercícios relacionados