Com o objetivo de verificar se a parótida tem influência na taxa de glicose no sangue, em ratos, um experimento no DIC foi realizado. Vinte e quatro ratos machos da raça W foram escolhidos aleatoriamente e separados em três grupos. Os dados referentes as taxas de glicose, em miligramas por 100 ml de sangue, segundo o grupo, em ratos machos com 60 dias de idade são dados abaixo:
Parotidectomizado 96,0 95,0 100,0 108,0 120,0 110,5 97,0 92,5
Pseudoparotidectomizado 90,0 93,0 89,0 88,0 87,0 92,5 87,5 85,0
Normal 86,0 85,0 105,0 105,0 90,0 100,0 95,0 95,0
Usando \alpha=5 \%, testar a hipótese de que as médias relativas aos três grupos são igauis, e concluir.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Grupo “Parotidectomizado” (8 observações): 96{,}0,\;95{,}0,\;100{,}0,\;108{,}0,\;120{,}0,\;110{,}5,\;97{,}0,\;92{,}5.
    • Grupo “Pseudoparotidectomizado” (8 observações): 90{,}0,\;93{,}0,\;89{,}0,\;88{,}0,\;87{,}0,\;92{,}5,\;87{,}5,\;85{,}0.
    • Grupo “Normal” (8 observações): 86{,}0,\;85{,}0,\;105{,}0,\;105{,}0,\;90{,}0,\;100{,}0,\;95{,}0,\;95{,}0.
  • Tamanho das amostras: n_1=n_2=n_3=8. Total N=24.
  • O que o enunciado pede:
    • Usando \alpha=5\%, testar a hipótese de que as médias dos três grupos são iguais, ou seja testar H_0:\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3 \qquad\text{versus}\qquad H_a:\\ \text{nem todas as }\mu_i\text{ são iguais}.ã
    • Concluir (aceitar/rejeitar H_0).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação das ideias básicas, tipo aula rápida).
  • Quando queremos comparar as médias de três ou mais grupos independentes usamos a análise de variância unidirecional (one-way ANOVA). A ideia central:
    • Dividimos a variabilidade total das observações em duas partes: variabilidade “entre grupos” (devida a diferenças de médias dos grupos) e variabilidade “dentro dos grupos” (devida à variação individual dentro de cada grupo).
    • Se a variabilidade entre grupos for grande em relação à variabilidade dentro dos grupos, é sinal de que as médias não são todas iguais.
  • Fórmulas principais (explicação do que cada símbolo significa):
    • Seja k o número de grupos ( k=3) e n_i o tamanho do grupo i ( n_i=8). Seja N=\sum_{i=1}^k n_i.
    • Médias de cada grupo: \bar{x}_i.
    • Média geral: \bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}.
    • Soma de quadrados entre grupos (SSB): \text{SSB}=\sum_{i=1}^k n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2.(mede a variação das médias dos grupos em relação à média geral)
    • Soma de quadrados dentro dos grupos (SSW): \text{SSW}=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\bar{x}_i)^2.(mede a variação dos dados em torno das médias dos seus próprios grupos)
    • Graus de liberdade: \text{df}_\text{between}=k-1, \text{df}_\text{within}=N-k.
    • Médias quadráticas: \text{MSB}=\frac{\text{SSB}}{k-1},\qquad \text{MSW}=\frac{\text{SSW}}{N-k}.
    • Estatística F: F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}.Sob H_0, F segue uma distribuição F com (k-1,\;N-k) graus de liberdade.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se F>F_{1-\alpha;k-1,N-k} (o valor crítico da tabela de F), ou se o p-valor <\alpha.

Passo 3

Calcular as somas e médias de cada grupo (passo a passo, contas mostradas).
  • Soma e média do grupo 1 (Parotidectomizado): \sum x_{1j}=96{,}0+95{,}0+100{,}0+108{,}0+120{,}0+110{,}5+97{,}0+92{,}5=819{,}0,
\bar{x}_1=\frac{819{,}0}{8}=102{,}375.
  • Soma e média do grupo 2 (Pseudoparotidectomizado): \sum x_{2j}=90{,}0+93{,}0+89{,}0+88{,}0+87{,}0+92{,}5+87{,}5+85{,}0=712{,}0,
\bar{x}_2=\frac{712{,}0}{8}=89{,}0.
  • Soma e média do grupo 3 (Normal): \sum x_{3j}=86{,}0+85{,}0+105{,}0+105{,}0+90{,}0+100{,}0+95{,}0+95{,}0=761{,}0,
\bar{x}_3=\frac{761{,}0}{8}=95{,}125.
  • Média geral: \bar{x}=\frac{819{,}0+712{,}0+761{,}0}{24}=\frac{2292{,}0}{24}=95{,}5.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados entre grupos (SSB) com a fórmula e mostrar as contas.
  • Aplicando \text{SSB}=\sum_{i=1}^3 n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2:
    • Para o grupo 1: n_1(\bar{x}_1-\bar{x})^2=8(102{,}375-95{,}5)^2=8(6{,}875)^2=8\cdot47{,}265625=378{,}125.
    • Para o grupo 2: n_2(\bar{x}_2-\bar{x})^2=8(89{,}0-95{,}5)^2=8(-6{,}5)^2=8\cdot42{,}25=338{,}0.
    • Para o grupo 3: n_3(\bar{x}_3-\bar{x})^2=8(95{,}125-95{,}5)^2=8(-0{,}375)^2=8\cdot0{,}140625=1{,}125.
  • Somando: \text{SSB}=378{,}125+338{,}0+1{,}125=717{,}25.

Passo 5

Calcular a soma de quadrados dentro dos grupos (SSW) — mostrar as contas agrupadas por grupo.
  • Fórmula: \text{SSW}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^{8}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2.
  • Para o grupo 1 (Parotidectomizado), cálculo dos quadrados das diferenças em torno de \bar{x}_1=102{,}375:
    • Diferenças e quadrados (mostrando alguns): (96{,}0-102{,}375)^2=40{,}640625,\quad (95{,}0-102{,}375)^2=54{,}390625,
(100{,}0-102{,}375)^2=5{,}640625,\\ \ldots,\\ (92{,}5-102{,}375)^2=97{,}515625.
  • Soma dos oito quadrados:
    \text{SSW}_1=635{,}375.
  • Para o grupo 2 (Pseudoparotidectomizado), em torno de \bar{x}_2=89{,}0:
    • Quadrados: 1,\;16,\;0,\;1,\;4,\;12{,}25,\;2{,}25,\;16.
    • Soma: \text{SSW}_2=52{,}5.
  • Para o grupo 3 (Normal), em torno de \bar{x}_3=95{,}125:
    • Quadrados (alguns): 83{,}265625,\;102{,}515625,\;97{,}515625,\ldots,0{,}015625.
    • Soma: \text{SSW}_3=430{,}875.
  • Soma total dentro dos grupos:
    \text{SSW}=\text{SSW}_1+\text{SSW}_2+\text{SSW}_3=635{,}375+52{,}5+430{,}875=1118{,}75.

Passo 6

Verificação rápida da soma total de quadrados e montando a tabela ANOVA (explicando cada termo).
  • Soma total (podemos checar que \text{SST}=\text{SSB}+\text{SSW}): \text{SST}=\text{SSB}+\text{SSW}=717{,}25+1118{,}75=1836{,}0.
  • Graus de liberdade: \text{df}_\text{between}=k-1=3-1=2,\qquad \text{df}_\text{within}=N-k=24-3=21,\qquad \text{df}_\text{total}=23.
  • Médias quadráticas: \text{MSB}=\frac{\text{SSB}}{2}=\frac{717{,}25}{2}=358{,}625,
\text{MSW}=\frac{\text{SSW}}{21}=\frac{1118{,}75}{21}\approx53{,}2738095.
  • Estatística F: F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}=\frac{358{,}625}{53{,}2738095}\approx6{,}732.

Passo 7

Decisão do teste: comparar com o valor crítico e interpretar (passo a passo do raciocínio).
  • Procuramos o valor crítico F_{1-\alpha;k-1,N-k}=F_{0{,}95;2,21}. Da tabela de F (ou calculadora), tem-se aproximadamente F_{0{,}95;2,21}\approx3{,}46.
  • Comparação: F_{\text{obs}}\approx6{,}732>3{,}46.Logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=5\%.
  • Interpretação intuitiva: a variabilidade entre as médias dos grupos é muito maior do que a variabilidade dentro dos grupos, indicando que nem todas as médias são iguais. Em termos práticos: há evidência estatística de diferença na taxa de glicose entre os grupos.

Passo 8

Observações finais e recomendações práticas para a prova (dicas rápidas e como apresentar).
  • Resultado do teste: rejeita-se H_0, portanto concluímos que as médias dos três grupos não são todas iguais ao nível de significância \alpha=5\%.
  • Dica de como escrever na prova: apresentar a tabela ANOVA com SSB, SSW, df, MSB, MSW, F, valor crítico e decisão; explicar brevemente que as suposições do ANOVA são independência, normalidade e homogeneidade de variâncias (se possível, verificar com testes gráficos ou Levene).
  • Se for necessário saber quais grupos diferem entre si, depois de rejeitar H_0 utiliza-se um procedimento post-hoc (por exemplo, teste de Tukey) para identificar os pares de grupos diferentes. Pelos valores das médias observadas ( \bar{x}_1=102{,}375,\\ \bar{x}_2=89{,}0,\\ \bar{x}_3=95{,}125), é plausível que a diferença mais forte seja entre o grupo 1 e o grupo 2.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=5\%; há evidência estatística de que as médias dos três grupos não são todas iguais.

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