Os dados abaixo se referem ao número de profissionais da área de recursos humanos em dez estabelecimentos públicos na região metropolitana de Belo Horizonte, dados a seguir:
2
4
3
4
6
4
2
1
5
5
a) Calcule e interprete os quartis 1, 2 (mediana) e 3;
b) Calcule e interprete a média e a moda;
c) Se a menor observação for corrigida e substituída pelo valor 11, então quanto valeria a média e a mediana? O que aconteceu com estas medidas estatísticas?
d) Calcule e interprete o desvio padrão e o coeficiente de variação;
| 2 | 4 | 3 | 4 | 6 | 4 | 2 | 1 | 5 | 5 |
b) Calcule e interprete a média e a moda;
c) Se a menor observação for corrigida e substituída pelo valor 11, então quanto valeria a média e a mediana? O que aconteceu com estas medidas estatísticas?
d) Calcule e interprete o desvio padrão e o coeficiente de variação;
Passo 1
O enunciado dá os seguintes números de profissionais de RH em 10 estabelecimentos:
As perguntas são:
a) Calcular e interpretar os quartis ,
(mediana) e
.
b) Calcular e interpretar a média e a moda.
c) Se a menor observação for substituída por , calcular a nova média e a nova mediana e dizer o que aconteceu com essas medidas.
d) Calcular e interpretar o desvio padrão e o coeficiente de variação.
a) Calcular e interpretar os quartis
b) Calcular e interpretar a média e a moda.
c) Se a menor observação for substituída por
d) Calcular e interpretar o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Passo 2
Primeiro organizo os dados em ordem crescente — isso é sempre útil para quartis e mediana:
O número de observações é
.
Passo 3
Definição e cálculo da mediana
.
- A mediana é o valor que divide os dados ao meio. Para
par a mediana é a média dos dois valores centrais. - Aqui os dois valores centrais são o 5.º e o 6.º (porque
). Esses valores, na lista ordenada, são (5.º) e (6.º).
Logo
Passo 4
Definição e cálculo dos quartis
e
.
- Uma forma comum de obter quartis: dividir os dados ordenados em duas metades (sem incluir a mediana quando
ímpar; quando é par, como aqui, as metades têm elementos cada). - Metade inferior (primeiros
valores): . O quartil é a mediana dessa metade — o elemento do meio dessa metade é o 3.º dela, que é . Logo . - Metade superior (últimos
valores): . O quartil é a mediana dessa metade — o elemento do meio dessa metade é o 3.º dela, que é . Logo .
Passo 5
Interpretação dos quartis (didática curta).
-
significa que dos estabelecimentos têm até profissionais de RH (ou seja, um quarto dos dados está em ou abaixo de ). -
significa que têm até profissionais — é o ponto médio dos dados. -
significa que têm até profissionais (ou seja, apenas têm mais de ).
Esses são cortes que descrevem a dispersão dos dados sem serem muito sensíveis a valores extremos.
Passo 6
Cálculo da média (definição e contas).
- A média aritmética
é a soma dos valores dividida por :
- Calculo a soma:
. - Portanto
Interpretação: o número médio de profissionais de RH por estabelecimento é
.
Passo 7
Cálculo da moda e interpretação.
- A moda é o valor que aparece com maior frequência. Observando a lista ordenada, o valor
aparece 3 vezes, mais que qualquer outro. - Logo a moda é
.
Interpretação: o valor mais comum (mais frequente) de profissionais de RH entre os estabelecimentos é.
Passo 8
Parte (c): substituir a menor observação por
— cálculo da nova média e da nova mediana.
- Substituição: trocamos o
por . A soma antiga era , substituindo obtemos soma nova . - Nova média:
- Para a mediana, ordenando os novos dados temos
Os valores centrais (5.º e 6.º) continuam sendo
e
, então a mediana permanece
Interpretação do que aconteceu: a média mudou de
para
(a média é sensível a valores extremos), enquanto a mediana permaneceu
(a mediana é mais robusta a valores extremos).
Passo 9
Parte (d): desvio padrão e coeficiente de variação — fórmulas e cálculo (usarei o desvio padrão populacional, dividindo por
, pois estamos descrevendo estes 10 estabelecimentos).
- Fórmula da variância populacional:
onde
são os valores e
a média.
- Fórmula do desvio padrão:
- Já temos
. Calculo as diferenças e quadrados (mostro cada termo):
- Somando todos os quadrados:
- Variância populacional:
- Desvio padrão:
- Coeficiente de variação (CV), que mede a variação relativa à média:
Interpretação: o desvio padrão
indica, em unidades de profissionais, a dispersão típica em torno da média; o CV
diz que a variabilidade é cerca de
da média — ou seja, variabilidade relativamente alta em relação ao nível médio.
Resposta
a)
b) moda
c) nova média nova mediana
A média aumentou (sensível a valores extremos) e a mediana permaneceu (mais robusta).
d) desvio padrão coeficiente de variação
b)
c) nova média
d) desvio padrão