Os dados abaixo se referem ao número de profissionais da área de recursos humanos em dez estabelecimentos públicos na região metropolitana de Belo Horizonte, dados a seguir:
2 4 3 4 6 4 2 1 5 5
a) Calcule e interprete os quartis 1, 2 (mediana) e 3;
b) Calcule e interprete a média e a moda;
c) Se a menor observação for corrigida e substituída pelo valor 11, então quanto valeria a média e a mediana? O que aconteceu com estas medidas estatísticas?
d) Calcule e interprete o desvio padrão e o coeficiente de variação;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes números de profissionais de RH em 10 estabelecimentos:
2,\;4,\;3,\;4,\;6,\;4,\;2,\;1,\;5,\;5.
As perguntas são:
a) Calcular e interpretar os quartis Q_1, Q_2 (mediana) e Q_3.
b) Calcular e interpretar a média e a moda.
c) Se a menor observação for substituída por 11, calcular a nova média e a nova mediana e dizer o que aconteceu com essas medidas.
d) Calcular e interpretar o desvio padrão e o coeficiente de variação.

Passo 2

Primeiro organizo os dados em ordem crescente — isso é sempre útil para quartis e mediana:
1,\;2,\;2,\;3,\;4,\;4,\;4,\;5,\;5,\;6.
O número de observações é n=10.

Passo 3

Definição e cálculo da mediana Q_2.
  • A mediana é o valor que divide os dados ao meio. Para n par a mediana é a média dos dois valores centrais.
  • Aqui os dois valores centrais são o 5.º e o 6.º (porque n=10). Esses valores, na lista ordenada, são 4 (5.º) e 4 (6.º).
    Logo
Q_2=\text{mediana}=\frac{4+4}{2}=4.

Passo 4

Definição e cálculo dos quartis Q_1 e Q_3.
  • Uma forma comum de obter quartis: dividir os dados ordenados em duas metades (sem incluir a mediana quando n ímpar; quando n é par, como aqui, as metades têm n/2 elementos cada).
  • Metade inferior (primeiros 5 valores): 1,\;2,\;2,\;3,\;4. O quartil Q_1 é a mediana dessa metade — o elemento do meio dessa metade é o 3.º dela, que é 2. Logo Q_1=2.
  • Metade superior (últimos 5 valores): 4,\;4,\;5,\;5,\;6. O quartil Q_3 é a mediana dessa metade — o elemento do meio dessa metade é o 3.º dela, que é 5. Logo Q_3=5.

Passo 5

Interpretação dos quartis (didática curta).
  • Q_1=2 significa que 25\% dos estabelecimentos têm até 2 profissionais de RH (ou seja, um quarto dos dados está em ou abaixo de 2).
  • Q_2=4 significa que 50\% têm até 4 profissionais — é o ponto médio dos dados.
  • Q_3=5 significa que 75\% têm até 5 profissionais (ou seja, apenas 25\% têm mais de 5).
    Esses são cortes que descrevem a dispersão dos dados sem serem muito sensíveis a valores extremos.

Passo 6

Cálculo da média (definição e contas).
  • A média aritmética \bar{x} é a soma dos valores dividida por n:
\bar{x}=\frac{1+2+2+3+4+4+4+5+5+6}{10}.
  • Calculo a soma: 1+2+2+3+4+4+4+5+5+6=36.
  • Portanto
\bar{x}=\frac{36}{10}=3,6.
Interpretação: o número médio de profissionais de RH por estabelecimento é 3,6.

Passo 7

Cálculo da moda e interpretação.
  • A moda é o valor que aparece com maior frequência. Observando a lista ordenada, o valor 4 aparece 3 vezes, mais que qualquer outro.
  • Logo a moda é 4.
    Interpretação: o valor mais comum (mais frequente) de profissionais de RH entre os estabelecimentos é 4.

Passo 8

Parte (c): substituir a menor observação por 11 — cálculo da nova média e da nova mediana.
  • Substituição: trocamos o 1 por 11. A soma antiga era 36, substituindo obtemos soma nova 36-1+11=46.
  • Nova média:
\bar{x}_{\text{novo}}=\frac{46}{10}=4,6.
  • Para a mediana, ordenando os novos dados temos
2,\;2,\;3,\;4,\;4,\;4,\;5,\;5,\;6,\;11.
Os valores centrais (5.º e 6.º) continuam sendo 4 e 4, então a mediana permanece
Q_2=\frac{4+4}{2}=4.
Interpretação do que aconteceu: a média mudou de 3,6 para 4,6 (a média é sensível a valores extremos), enquanto a mediana permaneceu 4 (a mediana é mais robusta a valores extremos).

Passo 9

Parte (d): desvio padrão e coeficiente de variação — fórmulas e cálculo (usarei o desvio padrão populacional, dividindo por n, pois estamos descrevendo estes 10 estabelecimentos).
  • Fórmula da variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde x_i são os valores e \bar{x} a média.
  • Fórmula do desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
  • Já temos \bar{x}=3,6. Calculo as diferenças e quadrados (mostro cada termo):
\begin{aligned} (1-3,6)^2&=(-2,6)^2=6,76,\\\ (2-3,6)^2&=(-1,6)^2=2,56\quad\text{(aparece duas vezes)},\\\ (3-3,6)^2&=(-0,6)^2=0,36,\\\ (4-3,6)^2&=(0,4)^2=0,16\quad\text{(aparece três vezes)},\\\ (5-3,6)^2&=(1,4)^2=1,96\quad\text{(aparece duas vezes)},\\\ (6-3,6)^2&=(2,4)^2=5,76. \end{aligned}ê
  • Somando todos os quadrados:
6,76+2,56+2,56+0,36+0,16+0,16+0,16+1,96+1,96+5,76=22,4.
  • Variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{22,4}{10}=2,24.
  • Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{2,24}\approx 1,497.
  • Coeficiente de variação (CV), que mede a variação relativa à média:
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%=\frac{1,497}{3,6}\times100\%\approx 41,6\%.
Interpretação: o desvio padrão \approx1,497 indica, em unidades de profissionais, a dispersão típica em torno da média; o CV \approx41,6\% diz que a variabilidade é cerca de 41{,}6\% da média — ou seja, variabilidade relativamente alta em relação ao nível médio.

Resposta

a) Q_1=2,\;Q_2=4,\;Q_3=5.
b) \bar{x}=3,6; moda =4.
c) nova média =4,6; nova mediana =4. A média aumentou (sensível a valores extremos) e a mediana permaneceu (mais robusta).
d) desvio padrão \sigma\approx1,497; coeficiente de variação \text{CV}\approx41,6\%.

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