Os seguintes dados referem-se ao número de acidentes diários num grande estacionamento, durante o período de 50 dias:
6
9
2
7
0
8
2
5
4
2
5
4
4
4
4
2
5
6
3
7
3
8
8
4
4
4
7
7
6
5
4
7
5
3
3
1
3
8
0
6
5
1
2
3
3
0
5
6
6
3
Construa a distribuição de frequência absoluta simples e relativa; e calcule a média, mediana e moda, utilizando:
a) Dados não agrupados em classes;
b) Dados agrupados em classes de amplitude 2.
| 6 | 9 | 2 | 7 | 0 | 8 | 2 | 5 | 4 | 2 |
| 5 | 4 | 4 | 4 | 4 | 2 | 5 | 6 | 3 | 7 |
| 3 | 8 | 8 | 4 | 4 | 4 | 7 | 7 | 6 | 5 |
| 4 | 7 | 5 | 3 | 3 | 1 | 3 | 8 | 0 | 6 |
| 5 | 1 | 2 | 3 | 3 | 0 | 5 | 6 | 6 | 3 |
a) Dados não agrupados em classes;
b) Dados agrupados em classes de amplitude 2.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Construir a distribuição de frequência absoluta simples e a distribuição de frequência relativa para os dados dos acidentes diários.
- Calcular a média, a mediana e a moda usando:
a) dados não agrupados;
b) dados agrupados em classes de amplitude.
Os dados (50 observações) são:
Passo 2
O que é frequência absoluta simples e como construir: a frequência absoluta de um valor
é o número de vezes que
aparece nos dados. Vou contar quantas ocorrências há de cada valor inteiro observado (de
a
).
Contagem (tally) e resultado final:
Verificação:
(confere com
).
Passo 3
Frequência relativa: é a frequência absoluta dividida pelo total
. Fórmula:
Calculando para cada
(com
):
Verificação: soma das relativas
.
Passo 4
Cálculo da média com dados não agrupados. Fórmula (usando frequências):
Vou calcular os produtos
e somar:
Logo
Comentário didático: a média é a “média aritmética” — soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Aqui usei as frequências para evitar somar 50 números um a um.
Passo 5
Cálculo da mediana com dados não agrupados. Conceito: para
par, a mediana é a média entre a
-ésima e a
-ésima observações ordenadas. Como
, precisamos da
ª e
ª observações ordenadas.
Primeiro construo a frequência acumulada:
A
ª e a
ª observações caem na classe (valor)
, porque
passa de
para
em
. Então ambas são
e
Explicação prática: ao ordenar os dados, as posições 25 e 26 são iguais a 4, então mediana é 4.
Passo 6
Cálculo da moda com dados não agrupados. A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Olhando as
, o maior valor é
. Portanto
Comentário: conjunto é unimodal (uma única moda).
Passo 7
Agora trato os dados agrupados em classes de amplitude
. Decisão de classes (adequadas para variáveis inteiras): agrupar em intervalos que reúnem dois valores inteiros:
(Equivalente, em termos contínuos, a usar limites
, o que dá amplitude
.)
Contando por classe (somando as frequências dos valores que caem na classe):
Verificação:
.
Passo 8
Frequências relativas por classe: dividir cada
por
:
Passo 9
Média aproximada por dados agrupados: usar os pontos médios das classes. Fórmula de aproximação:
onde
é o ponto médio da classe
.
Cálculo dos pontos médios e produtos:
Assim
Observação: é uma aproximação — por isso pode diferir um pouco da média exata
.
Passo 10
Mediana por dados agrupados (interpolação dentro da classe mediana). Passos e fórmula:
- Determinar a posição do meio
(aqui ). - Encontrar a classe que contém a observação de ordem
(classe mediana). A frequência acumulada antes da classe mediana é . - Usar a fórmula de interpolação (com amplitude
e limite inferior da classe ):
Aplicando aos nossos dados:
- A classe que contém a posição
é (porque as duas primeiras classes têm observações e a próxima tem , cobrindo as posições a ). - Então
(limite inferior contínuo da classe , usando a convenção de deslocar para inteiros), , , .
Cálculo:
Comentário: a mediana agrupada dá
, próxima da mediana exata
.
Passo 11
Moda por dados agrupados. Primeiro identificar a classe modal (aquela com maior
): é
com
. Usa-se a fórmula da moda por interpolação:
onde
é o limite inferior da classe modal,
é a frequência da classe modal,
a frequência da classe anterior e
a da classe seguinte, e
é a amplitude.
Aqui:
,
,
(classe
),
(classe
),
. Então:
Interpretação: a moda agrupada estimate
, próxima da moda exata
.
Passo 12
Resumo didático rápido (como usar em prova):
- Para frequência absoluta e relativa: conte e divida por
. - Para média exata use
ou . - Para mediana exata, ordene (ou use frequências acumuladas) e ache a posição
(ou média das duas do meio se par). - Para dados agrupados: use pontos médios para a média; para mediana e moda use as fórmulas de interpolação com limites da classe e amplitude
.
Força — você chega lá, passo a passo dá certo!
Resposta
a) Não agrupados — Frequência absoluta:
a) Não agrupados — Frequência relativa:
a) Não agrupados — Média:
a) Não agrupados — Mediana:
a) Não agrupados — Moda:
a) Não agrupados — Frequência relativa:
a) Não agrupados — Média:
a) Não agrupados — Mediana:
a) Não agrupados — Moda:
b) Agrupados (classes de amplitude
:
) — Frequência absoluta por classe:
b) Agrupados — Frequência relativa por classe:
b) Agrupados — Média (aprox.):
b) Agrupados — Mediana (interpolada):
b) Agrupados — Moda (interpolada):
b) Agrupados — Frequência relativa por classe:
b) Agrupados — Média (aprox.):
b) Agrupados — Mediana (interpolada):
b) Agrupados — Moda (interpolada):