Os seguintes dados referem-se ao número de acidentes diários num grande estacionamento, durante o período de 50 dias:
6 9 2 7 0 8 2 5 4 2
5 4 4 4 4 2 5 6 3 7
3 8 8 4 4 4 7 7 6 5
4 7 5 3 3 1 3 8 0 6
5 1 2 3 3 0 5 6 6 3
Construa a distribuição de frequência absoluta simples e relativa; e calcule a média, mediana e moda, utilizando:
a) Dados não agrupados em classes;
b) Dados agrupados em classes de amplitude 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Construir a distribuição de frequência absoluta simples e a distribuição de frequência relativa para os dados dos acidentes diários.
  2. Calcular a média, a mediana e a moda usando:
    a) dados não agrupados;
    b) dados agrupados em classes de amplitude 2.
Os dados (50 observações) são:
6,9,2,7,0,8,2,5,4,2,5,4,4,4,4,2,5,6,3,7,3,8,8,4,4,4,7,7,6,5,4,7,5,3,3,1,3,8,0,6,5,1,2,3,3,0,5,6,6,3

Passo 2

O que é frequência absoluta simples e como construir: a frequência absoluta de um valor x é o número de vezes que x aparece nos dados. Vou contar quantas ocorrências há de cada valor inteiro observado (de 0 a 9).
Contagem (tally) e resultado final:
\begin{array}{c|cccccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\hline f(x) & 3 & 2 & 5 & 8 & 9 & 7 & 6 & 5 & 4 & 1 \end{array}
Verificação: \sum f(x)=3+2+5+8+9+7+6+5+4+1=50 (confere com n=50).

Passo 3

Frequência relativa: é a frequência absoluta dividida pelo total n. Fórmula:
\text{freq relativa de }x = \frac{f(x)}{n}.
Calculando para cada x (com n=50):
\begin{array}{c|cccccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\hline \text{relativa} & \tfrac{3}{50}=0{,}06 & \tfrac{2}{50}=0{,}04 & \tfrac{5}{50}=0{,}10 & \tfrac{8}{50}=0{,}16 & \tfrac{9}{50}=0{,}18\\\ & & & & & & \tfrac{7}{50}=0{,}14 & \tfrac{6}{50}=0{,}12 & \tfrac{5}{50}=0{,}10 & \tfrac{4}{50}=0{,}08 & \tfrac{1}{50}=0{,}02 \end{array}
Verificação: soma das relativas =1{,}00.

Passo 4

Cálculo da média com dados não agrupados. Fórmula (usando frequências):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_x x\cdot f(x).
Vou calcular os produtos x\cdot f(x) e somar:
\begin{array}{c|c} x & x\cdot f(x)\\hline 0 & 0\\\\ 1 & 2\\\\ 2 & 10\\\\ 3 & 24\\\\ 4 & 36\\\\ 5 & 35\\\\ 6 & 36\\\\ 7 & 35\\\\ 8 & 32\\\\ 9 & 9\\hline \text{Total} & 219 \end{array}
Logo
\bar{x}=\frac{219}{50}=4{,}38.
Comentário didático: a média é a “média aritmética” — soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Aqui usei as frequências para evitar somar 50 números um a um.

Passo 5

Cálculo da mediana com dados não agrupados. Conceito: para n par, a mediana é a média entre a n/2-ésima e a (n/2+1)-ésima observações ordenadas. Como n=50, precisamos da 25ª e 26ª observações ordenadas.
Primeiro construo a frequência acumulada:
\begin{array}{c|cccccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\hline f(x) & 3 & 2 & 5 & 8 & 9 & 7 & 6 & 5 & 4 & 1\\hline F_{\text{acum}} & 3 & 5 & 10 & 18 & 27 & 34 & 40 & 45 & 49 & 50 \end{array}
A 25ª e a 26ª observações caem na classe (valor) x=4, porque F_{\text{acum}} passa de 18 para 27 em x=4. Então ambas são 4 e
\text{mediana}=4.
Explicação prática: ao ordenar os dados, as posições 25 e 26 são iguais a 4, então mediana é 4.

Passo 6

Cálculo da moda com dados não agrupados. A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Olhando as f(x), o maior valor é f(4)=9. Portanto
\text{moda}=4.
Comentário: conjunto é unimodal (uma única moda).

Passo 7

Agora trato os dados agrupados em classes de amplitude 2. Decisão de classes (adequadas para variáveis inteiras): agrupar em intervalos que reúnem dois valores inteiros:
\text{classes: }[0,1],\;[2,3],\;[4,5],\;[6,7],\;[8,9].
(Equivalente, em termos contínuos, a usar limites -0{,}5\!-\!1{,}5,\;1{,}5\!-\!3{,}5,\;\ldots, o que dá amplitude h=2.)
Contando por classe (somando as frequências dos valores que caem na classe):
\begin{array}{c|cc} \text{classe} & \text{valores} & f\\hline [0,1] & 0,1 & 3+2=5\\\ [2,3] & 2,3 & 5+8=13\\\ [4,5] & 4,5 & 9+7=16\\\ [6,7] & 6,7 & 6+5=11\\\ [8,9] & 8,9 & 4+1=5 \end{array}
Verificação: 5+13+16+11+5=50.

Passo 8

Frequências relativas por classe: dividir cada f por n=50:
\begin{array}{c|c} \text{classe} & \text{freq relativa}\\hline [0,1] & \tfrac{5}{50}=0{,}10\\\ [2,3] & \tfrac{13}{50}=0{,}26\\\ [4,5] & \tfrac{16}{50}=0{,}32\\\ [6,7] & \tfrac{11}{50}=0{,}22\\\ [8,9] & \tfrac{5}{50}=0{,}10 \end{array}

Passo 9

Média aproximada por dados agrupados: usar os pontos médios das classes. Fórmula de aproximação:
\bar{x}\approx\frac{1}{n}\sum_j f_j m_j,
onde m_j é o ponto médio da classe j.
Cálculo dos pontos médios e produtos:
\begin{array}{c|ccc} \text{classe} & m_j & f_j & f_j m_j\\hline [0,1] & 0{,}5 & 5 & 2{,}5\\\ [2,3] & 2{,}5 & 13 & 32{,}5\\\ [4,5] & 4{,}5 & 16 & 72{,}0\\\ [6,7] & 6{,}5 & 11 & 71{,}5\\\ [8,9] & 8{,}5 & 5 & 42{,}5\\hline \text{Total} & & 50 & 221{,}0 \end{array}
Assim
\bar{x}_{\text{agrup}}=\frac{221{,}0}{50}=4{,}42.
Observação: é uma aproximação — por isso pode diferir um pouco da média exata 4{,}38.

Passo 10

Mediana por dados agrupados (interpolação dentro da classe mediana). Passos e fórmula:
  1. Determinar a posição do meio n/2 (aqui 25).
  2. Encontrar a classe que contém a observação de ordem 25 (classe mediana). A frequência acumulada antes da classe mediana é \text{F}_{\text{antes}}.
  3. Usar a fórmula de interpolação (com amplitude h e limite inferior da classe L):
\text{mediana}\approx L+\frac{\tfrac{n}{2}-\text{F}_{\text{antes}}}{f_{\text{classe}}}\cdot h.
Aplicando aos nossos dados:
  • A classe que contém a posição 25 é [4,5] (porque as duas primeiras classes têm 5+13=18 observações e a próxima tem 16, cobrindo as posições 19 a 34).
  • Então L=3{,}5 (limite inferior contínuo da classe [4,5], usando a convenção de deslocar ±0{,}5 para inteiros), h=2, \text{F}_{\text{antes}}=18, f_{\text{classe}}=16.
    Cálculo:
\text{mediana}_{\text{agrup}}\approx 3{,}5+\frac{25-18}{16}\cdot 2 =3{,}5+\frac{7}{16}\cdot 2 =3{,}5+0{,}875 =4{,}375.
Comentário: a mediana agrupada dá 4{,}375, próxima da mediana exata 4.

Passo 11

Moda por dados agrupados. Primeiro identificar a classe modal (aquela com maior f_j): é [4,5] com f_1=16. Usa-se a fórmula da moda por interpolação:
\text{mode}\approx L+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\cdot h,
onde L é o limite inferior da classe modal, f_1 é a frequência da classe modal, f_0 a frequência da classe anterior e f_2 a da classe seguinte, e h é a amplitude.
Aqui: L=3{,}5, f_1=16, f_0=13 (classe [2,3]), f_2=11 (classe [6,7]), h=2. Então:
\text{mode}_{\text{agrup}}\approx 3{,}5+\frac{16-13}{2\cdot16-13-11}\cdot 2 =3{,}5+\frac{3}{32-24}\cdot 2 =3{,}5+\frac{3}{8}\cdot 2 =3{,}5+0{,}75 =4{,}25.
Interpretação: a moda agrupada estimate 4{,}25, próxima da moda exata 4.

Passo 12

Resumo didático rápido (como usar em prova):
  • Para frequência absoluta e relativa: conte e divida por n.
  • Para média exata use \bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i ou \bar{x}=\frac{1}{n}\sum f_j x_j.
  • Para mediana exata, ordene (ou use frequências acumuladas) e ache a posição n/2 (ou média das duas do meio se n par).
  • Para dados agrupados: use pontos médios para a média; para mediana e moda use as fórmulas de interpolação com limites da classe e amplitude h.
    Força — você chega lá, passo a passo dá certo!

Resposta

a) Não agrupados — Frequência absoluta: f(0)=3,\;f(1)=2,\;f(2)=5,\;f(3)=8,\;f(4)=9,\;f(5)=7,\;f(6)=6,\;f(7)=5,\;f(8)=4,\;f(9)=1.
a) Não agrupados — Frequência relativa: 0:0{,}06,\;1:0{,}04,\;2:0{,}10,\;3:0{,}16,\;4:0{,}18,\;5:0{,}14,\;6:0{,}12,\;7:0{,}10,\;8:0{,}08,\;9:0{,}02.
a) Não agrupados — Média: \bar{x}=4{,}38.
a) Não agrupados — Mediana: \text{mediana}=4.
a) Não agrupados — Moda: \text{moda}=4.
b) Agrupados (classes de amplitude 2: [0,1],[2,3],[4,5],[6,7],[8,9]) — Frequência absoluta por classe: [0,1]:5,\;[2,3]:13,\;[4,5]:16,\;[6,7]:11,\;[8,9]:5.
b) Agrupados — Frequência relativa por classe: [0,1]:0{,}10,\;[2,3]:0{,}26,\;[4,5]:0{,}32,\;[6,7]:0{,}22,\;[8,9]:0{,}10.
b) Agrupados — Média (aprox.): \bar{x}_{\text{agrup}}=4{,}42.
b) Agrupados — Mediana (interpolada): \text{mediana}_{\text{agrup}}\approx4{,}375.
b) Agrupados — Moda (interpolada): \text{moda}_{\text{agrup}}\approx4{,}25.

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