Para assegurar um uso eficiente de um servidor, é necessário estimar seu número médio de usuários simultâneos. De acordo com dados históricos, obtidos em 100 horários escolhidos ao acaso, o número de usuários simultâneos de certo servidor é 37.4 , com desvio padrão 9.1.
a) Indique um intervalo de
de confiança para o número esperado de usuários simultâneos
b) Os dados históricos apresentam evidências com nível de significância de
de que o número médio de usuários simultâneos não passa de 40 ?
a) Indique um intervalo de
b) Os dados históricos apresentam evidências com nível de significância de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece dados amostrais. Vou listar claramente o que se pede e o que temos.
-
Perguntas:
- Indicar um intervalo de
de confiança para o número esperado (média) de usuários simultâneos. - Verificar, ao nível de significância de
, se os dados históricos apresentam evidências de que o número médio de usuários simultâneos não passa de .
- Indicar um intervalo de
-
Dados fornecidos (obtidos em
horários):
Passo 2
Escolha do método e ideia geral para o item (a). Como temos uma amostra grande (
), pela ideia do teorema do limite central a distribuição amostral da média é aproximadamente normal. Portanto podemos usar o intervalo de confiança baseado na normal padrão (z). A fórmula geral do intervalo de confiança para a média (quando usamos z) é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da normal padrão correspondente a (para de confiança, e ).
Vou explicar cada termo devagar:
é o erro padrão da média — diz o quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira. O
determina a “largura” do intervalo desejado (quanto maior o nível de confiança, maior o
e maior o intervalo).
Passo 3
Calcular o erro padrão da média. Usamos a fórmula do erro padrão:
Substituindo:
Passo 4
Obter o valor crítico da normal padrão para um intervalo de
. Para
de confiança temos
e
. O quantil positivo da normal padrão que deixa
na cauda superior é aproximadamente
(Isto vem da tabela da normal padrão ou calculadora; é um valor padrão:
.)
Passo 5
Calcular a margem de erro e o intervalo de confiança. A margem de erro é
Fazendo a conta:
Logo o intervalo de confiança é
Os extremos são
Interpretação curta: um intervalo de
de confiança significa que, usando esse procedimento repetidas vezes com amostras do mesmo tamanho, cerca de
dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional.
Passo 6
Preparação e escolha do teste para o item (b). A frase "não passa de
" indica interesse em saber se a média é menor ou igual a
. Para testar isso tipicamente formulamos o teste unilateral esquerdo:
(Usamos
como hipótese nula de referência e
como hipótese alternativa, pois queremos evidência de que a média é menor que
.) Como antes, com
grande, usamos o teste z. O nível de significância é
(
).
Passo 7
Definir estatística de teste e calcular seu valor. A estatística z é
onde
. Substituindo:
Passo 8
Obter p-valor e/ou comparar com valor crítico. Para um teste unilateral à esquerda:
- O valor crítico da normal padrão para
é (ou seja, rejeitamos se ). - Nosso
é menor que , portanto está na região de rejeição.
Calculando o p-valor:
(Usando tabela ou calculadora da normal padrão obtemos cerca de
, que é menor que
.)
Passo 9
Conclusão do teste (tradução para linguagem do problema). Como o p-valor (
) é menor que o nível de significância
e o estatístico
está na região de rejeição, rejeitamos
. Em linguagem simples: os dados apresentam evidência suficiente, ao nível de
, de que a média de usuários simultâneos é menor que
— ou seja, há evidência de que o número médio "não passa de
".
Resposta
Intervalo de
de confiança para a média:
Teste ao nível : sim — há evidências para concluir que a média não passa de
(estatística
, p-valor
, rejeita-se
).
Teste ao nível