Para assegurar um uso eficiente de um servidor, é necessário estimar seu número médio de usuários simultâneos. De acordo com dados históricos, obtidos em 100 horários escolhidos ao acaso, o número de usuários simultâneos de certo servidor é 37.4 , com desvio padrão 9.1.
a) Indique um intervalo de 90 \% de confiança para o número esperado de usuários simultâneos
b) Os dados históricos apresentam evidências com nível de significância de 1 \% de que o número médio de usuários simultâneos não passa de 40 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados amostrais. Vou listar claramente o que se pede e o que temos.
  • Perguntas:
    1. Indicar um intervalo de 90\% de confiança para o número esperado (média) de usuários simultâneos.
    2. Verificar, ao nível de significância de 1\%, se os dados históricos apresentam evidências de que o número médio de usuários simultâneos não passa de 40.
  • Dados fornecidos (obtidos em 100 horários):
    n = 100,\quad \bar{x} = 37{,}4,\quad s = 9{,}1.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral para o item (a). Como temos uma amostra grande ( n=100), pela ideia do teorema do limite central a distribuição amostral da média é aproximadamente normal. Portanto podemos usar o intervalo de confiança baseado na normal padrão (z). A fórmula geral do intervalo de confiança para a média (quando usamos z) é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=37{,}4);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=9{,}1);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente a \alpha/2 (para 90\% de confiança, \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05).
Vou explicar cada termo devagar: \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média — diz o quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira. O z_{\alpha/2} determina a “largura” do intervalo desejado (quanto maior o nível de confiança, maior o z e maior o intervalo).

Passo 3

Calcular o erro padrão da média. Usamos a fórmula do erro padrão:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo:
\text{SE}=\frac{9{,}1}{\sqrt{100}}=\frac{9{,}1}{10}=0{,}91.

Passo 4

Obter o valor crítico da normal padrão para um intervalo de 90\%. Para 90\% de confiança temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O quantil positivo da normal padrão que deixa 5\% na cauda superior é aproximadamente
z_{0{,}05}=1{,}645.
(Isto vem da tabela da normal padrão ou calculadora; é um valor padrão: z_{0{,}05}\approx 1{,}645.)

Passo 5

Calcular a margem de erro e o intervalo de confiança. A margem de erro é
\text{ME}=z_{0{,}05}\cdot\text{SE}=1{,}645\cdot 0{,}91.
Fazendo a conta:
\text{ME}\approx 1{,}645\times 0{,}91 \approx 1{,}49795 \approx 1{,}498.
Logo o intervalo de confiança é
\bar{x}\pm \text{ME}=37{,}4\pm 1{,}498.
Os extremos são
\text{limite inferior}=37{,}4-1{,}498\approx 35{,}902,
\text{limite superior}=37{,}4+1{,}498\approx 38{,}898.
Interpretação curta: um intervalo de 90\% de confiança significa que, usando esse procedimento repetidas vezes com amostras do mesmo tamanho, cerca de 90\% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional.

Passo 6

Preparação e escolha do teste para o item (b). A frase "não passa de 40" indica interesse em saber se a média é menor ou igual a 40. Para testar isso tipicamente formulamos o teste unilateral esquerdo:
\begin{aligned} H_0&:\\ \mu = 40,\\\ H_a&:\\ \mu < 40. \end{aligned}
(Usamos H_0:\mu=40 como hipótese nula de referência e H_a:\mu<40 como hipótese alternativa, pois queremos evidência de que a média é menor que 40.) Como antes, com n=100 grande, usamos o teste z. O nível de significância é \alpha=0{,}01 ( 1\% ).

Passo 7

Definir estatística de teste e calcular seu valor. A estatística z é
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0=40. Substituindo:
z=\frac{37{,}4-40}{0{,}91}=\frac{-2{,}6}{0{,}91}\approx -2{,}8571.

Passo 8

Obter p-valor e/ou comparar com valor crítico. Para um teste unilateral à esquerda:
  • O valor crítico da normal padrão para \alpha=0{,}01 é z_{0{,}01}\approx -2{,}3263 (ou seja, rejeitamos H_0 se z< -2{,}3263).
  • Nosso z\approx -2{,}8571 é menor que -2{,}3263, portanto está na região de rejeição.
Calculando o p-valor:
\text{p-valor}=P(Z\le z)\approx P(Z\le -2{,}8571)\approx 0{,}0021.
(Usando tabela ou calculadora da normal padrão obtemos cerca de 0{,}0021, que é menor que \alpha=0{,}01.)

Passo 9

Conclusão do teste (tradução para linguagem do problema). Como o p-valor ( \approx 0{,}0021) é menor que o nível de significância \alpha=0{,}01 e o estatístico z está na região de rejeição, rejeitamos H_0. Em linguagem simples: os dados apresentam evidência suficiente, ao nível de 1\%, de que a média de usuários simultâneos é menor que 40 — ou seja, há evidência de que o número médio "não passa de 40".

Resposta

Intervalo de 90\% de confiança para a média: (35{,}902,\;38{,}898)
Teste ao nível 1\%: sim — há evidências para concluir que a média não passa de 40 (estatística z\approx -2{,}857, p-valor \approx 0{,}0021, rejeita-se H_0).

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