A instalação de certo hardware gasta um tempo aleatório com desvio padrão de 5 minutos.
a) Um técnico instalou este hardware em 60 computadores diferentes, com média de tempo de instalação de 42 minutos. Calcule um intervalo para a média real do tempo de instalação com 95 \% de confiança.
b) Note que o intervalo tem uma margem de erro acima de 1 minuto. Para obter uma margem de até 1 min , a média do tempo de instalação deveria ser obtida a partir de quantas instalações diferentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
\sigma=5 (desvio padrão do tempo de instalação), n=60 (número de instalações observadas) e \bar{x}=42 minutos (média amostral). O nível de confiança é 95\%. Perguntas pedidas:
a) Calcular um intervalo de confiança de 95\% para a média real do tempo de instalação.
b) Determinar quantas instalações seriam necessárias para que a margem de erro do intervalo seja no máximo 1 minuto, mantendo o mesmo nível de confiança ( 95\%).

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que vamos usar: intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido. A fórmula do intervalo é
\bar{x}\pm z_{\,\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=42);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=5);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=60);
  • z_{\,\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança. Para um nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e z_{\,\alpha/2}=z_{0{,}025}. Explicando: z_{0{,}025} é o ponto tal que a área à direita é 0{,}025 (ou área central é 0{,}95), e seu valor conhecido é 1{,}96.
    A parcela \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média e mede a variabilidade da média amostral.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média. Primeiro a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{60}\approx 7{,}745966692.
Logo o erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{60}}\approx \frac{5}{7{,}745966692}\approx 0{,}645497224.
Expliquei cada passo para que você possa calcuar isso manualmente: calcule a raiz de 60 (ou estime), depois divida 5 por esse valor.

Passo 4

Calcular a margem de erro para 95\%. Usamos z_{0{,}025}=1{,}96. Assim a margem de erro E é
E = z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot 0{,}645497224\approx 1{,}264174.
Interpretação: com esse número, o intervalo ficará \bar{x}\pm E.

Passo 5

Montar o intervalo de confiança substituindo os valores:
\text{limite inferior } = \bar{x}-E = 42 - 1{,}264174 \approx 40{,}735826,
\text{limite superior } = \bar{x}+E = 42 + 1{,}264174 \approx 43{,}264174.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente (40{,}736,\;43{,}264) (arredondei para três casas decimais). Esse intervalo significa que, com confiança 95\%, a média populacional do tempo de instalação está entre esses valores.

Passo 6

Agora a segunda parte: queremos que a margem de erro seja no máximo 1 minuto. Partimos da fórmula da margem de erro
E = z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 1.
Isolamos n. Primeiro escrevemos
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{z_{0{,}025}}
e daí
\sqrt{n} \ge \frac{z_{0{,}025}\sigma}{1}.
Elevando ao quadrado,
n \ge \left(z_{0{,}025}\sigma\right)^2.
Substituímos z_{0{,}025}=1{,}96 e \sigma=5:
n \ge (1{,}96\cdot 5)^2 = (9{,}8)^2 = 96{,}04.

Passo 7

Interpretando o resultado: n deve ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro seja no máximo 1 minuto devemos escolher o menor inteiro n tal que n\ge 96{,}04. Isso significa tomar n=97 (sempre arredondar para cima, porque se escolher n=96 a desigualdade não seria satisfeita exatamente). Logo são necessárias 97 instalações.

Resposta

\text{a) Intervalo de confiança de }95\%: (40{,}7358,\;43{,}2642)ç
\text{b) Número de instalações necessárias: }97úçõá

Exercícios relacionados