A instalação de certo hardware gasta um tempo aleatório com desvio padrão de 5 minutos.
a) Um técnico instalou este hardware em 60 computadores diferentes, com média de tempo de instalação de 42 minutos. Calcule um intervalo para a média real do tempo de instalação com
de confiança.
b) Note que o intervalo tem uma margem de erro acima de 1 minuto. Para obter uma margem de até 1 min , a média do tempo de instalação deveria ser obtida a partir de quantas instalações diferentes?
a) Um técnico instalou este hardware em 60 computadores diferentes, com média de tempo de instalação de 42 minutos. Calcule um intervalo para a média real do tempo de instalação com
b) Note que o intervalo tem uma margem de erro acima de 1 minuto. Para obter uma margem de até 1 min , a média do tempo de instalação deveria ser obtida a partir de quantas instalações diferentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
(desvio padrão do tempo de instalação),
(número de instalações observadas) e
minutos (média amostral). O nível de confiança é
. Perguntas pedidas:
a) Calcular um intervalo de confiança de para a média real do tempo de instalação.
b) Determinar quantas instalações seriam necessárias para que a margem de erro do intervalo seja no máximo minuto, mantendo o mesmo nível de confiança (
).
a) Calcular um intervalo de confiança de
b) Determinar quantas instalações seriam necessárias para que a margem de erro do intervalo seja no máximo
Passo 2
Vou explicar a ferramenta que vamos usar: intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão populacional
é conhecido. A fórmula do intervalo é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o valor crítico da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança. Para um nível de confiança temos e . Explicando: é o ponto tal que a área à direita é (ou área central é ), e seu valor conhecido é .
A parcelachama-se erro padrão da média e mede a variabilidade da média amostral.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média. Primeiro a raiz quadrada de
:
Logo o erro padrão é
Expliquei cada passo para que você possa calcuar isso manualmente: calcule a raiz de
(ou estime), depois divida
por esse valor.
Passo 4
Calcular a margem de erro para
. Usamos
. Assim a margem de erro
é
Interpretação: com esse número, o intervalo ficará
.
Passo 5
Montar o intervalo de confiança substituindo os valores:
Portanto o intervalo de confiança de
é aproximadamente
(arredondei para três casas decimais). Esse intervalo significa que, com confiança
, a média populacional do tempo de instalação está entre esses valores.
Passo 6
Agora a segunda parte: queremos que a margem de erro seja no máximo
minuto. Partimos da fórmula da margem de erro
Isolamos
. Primeiro escrevemos
e daí
Elevando ao quadrado,
Substituímos
e
:
Passo 7
Interpretando o resultado:
deve ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro seja no máximo
minuto devemos escolher o menor inteiro
tal que
. Isso significa tomar
(sempre arredondar para cima, porque se escolher
a desigualdade não seria satisfeita exatamente). Logo são necessárias
instalações.