1. Os dados a seguir referem-se à resistência, em ohms, de uma amostra de 40 resistores (dados brutos).
38,9 35,7 41,2 35,2 46,2 48,8 39,6 41,7
46,8 36,1 46,5 36,3 43,4 44,3 43,2 39,8
38,1 41,2 44,6 39,5 47,8 44,7 41,4 44,2
46,8 38,5 45,2 42,6 41,1 48,9 46,8 37,6
38,8 36,5 38,5 41,3 39,8 44,5 46,9 48,6
a) Qual a variável sob análise;
b) Classifique a variável;
c) De acordo com o tipo de variável construa a tabela de distribuição de frequências, com as frequências: absoluta, relativa e percentual;
d) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências menores que 39,31 ohms?
e) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências maiores que 42,05 ohms?
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre 36,57 e 47,53 ohms?
g) Construa o histograma e o polígono de frequência;
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 40 resistores e os seus valores de resistência (em ohms). Vou listar claramente o que é pedido e quais são os dados relevantes.
Dados (pegos do enunciado):
\begin{array}{llllllll} 38,9 & 35,7 & 41,2 & 35,2 & 46,2 & 48,8 & 39,6 & 41,7 \\\\ 46,8 & 36,1 & 46,5 & 36,3 & 43,4 & 44,3 & 43,2 & 39,8 \\\\ 38,1 & 41,2 & 44,6 & 39,5 & 47,8 & 44,7 & 41,4 & 44,2 \\\\ 46,8 & 38,5 & 45,2 & 42,6 & 41,1 & 48,9 & 46,8 & 37,6 \\\\ 38,8 & 36,5 & 38,5 & 41,3 & 39,8 & 44,5 & 46,9 & 48,6 \end{array}
Perguntas do enunciado:
a) Qual a variável sob análise?
b) Classifique a variável (tipo).
c) Construir tabela de distribuição de frequências (frequência absoluta, relativa e percentual).
d) Qual a porcentagem de resistores com resistência menor que 39,31\\ \Omega?
e) Qual a porcentagem de resistores com resistência maior que 42,05\\ \Omega?
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre 36,57\\ \Omega e 47,53\\ \Omega?
g) Construa o histograma e o polígono de frequência.
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.

Passo 2

Primeiro vamos olhar a natureza dos dados e decidir como montar a tabela de frequência (explicando a teoria passo a passo).
O que é uma variável aqui? Cada observação é a resistência de um resistor medida em ohms. É importante identificar se é qualitativa ou quantitativa e se é contínua ou discreta:
  • Variável quantitativa: assume valores numéricos que podem ser ordenados e usados em operações aritméticas.
  • Quantitativa contínua: quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo (a resistência medida com casas decimais normalmente é contínua).
    Como as resistências são números com casas decimais (por exemplo 38,9, 41,2), isso indica uma variável quantitativa contínua.
Para construir uma tabela de classes (histograma) precisamos:
  1. Número de observações n=40.
  2. Escolher o número de classes k. Uma regra simples (e comum) é a regra de Sturges: k \approx 1+\log_2 n. Aqui 1+\log_2 40\approx 6{,}32, então escolhemos k=6 classes (nada mágico: é prático e suficiente).
  3. Calcular a amplitude (alcance) dos dados: \text{amplitude} = \text{máx} - \text{mín}áí. Vou pegar o mínimo e o máximo dos dados (peguei-os da lista): \min=35,2\\ \Omega e \max=48,9\\ \Omega. Então
\text{amplitude} = 48,9-35,2=13,7\\ \Omega.
  1. Largura de classe aproximada h = \dfrac{\text{amplitude}}{k} \approx \dfrac{13,7}{6}\approx 2{,}283\\ \Omega. Para facilitar a construção do histograma escolho uma largura de classe arredondada e conveniente: h=2{,}5\\ \Omega. Com h=2{,}5 as 6 classes cobrirão a amostra inteira (pois 6\cdot2{,}5=15{,}0>13{,}7).
  2. Definir os limites de classe de forma clara. Vou tomar a convenção usual: intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, exceto a última classe que inclui o limite superior. E escolho começar em 35{,}0\\ \Omega (um número redondo menor que o mínimo 35,2). Assim as classes são:
\begin{aligned} &[35{,}0,\;37{,}5),\\\ &[37{,}5,\;40{,}0),\\\ &[40{,}0,\;42{,}5),\\\ &[42{,}5,\;45{,}0),\\\ &[45{,}0,\;47{,}5),\\\ &[47{,}5,\;50{,}0]. \end{aligned}
(última classe escrita com [47{,}5,\;50{,}0] para incluir 48{,}9.)

Passo 3

Agora conto quantos valores caem em cada classe (vou explicar como fazer a contagem e mostrar o resultado). Para não errar, verifiquei cada observação da lista e a coloquei na classe apropriada.
Contagens (frequência absoluta f):
  • Classe [35{,}0,\;37{,}5): f_1=5. (valores: 35{,}2,\;35{,}7,\;36{,}1,\;36{,}3,\;36{,}5)
  • Classe [37{,}5,\;40{,}0): f_2=10. (valores: 37{,}6,\;38{,}1,\;38{,}5,\;38{,}5,\;38{,}8,\;38{,}9,\;39{,}5,\;39{,}6,\;39{,}8,\;39{,}8)
  • Classe [40{,}0,\;42{,}5): f_3=6. (valores: 41{,}1,\;41{,}2,\;41{,}2,\;41{,}3,\;41{,}4,\;41{,}7)
  • Classe [42{,}5,\;45{,}0): f_4=8. (valores: 42{,}6,\;43{,}2,\;43{,}4,\;44{,}2,\;44{,}3,\;44{,}5,\;44{,}6,\;44{,}7)
  • Classe [45{,}0,\;47{,}5): f_5=7. (valores: 45{,}2,\;46{,}2,\;46{,}5,\;46{,}8,\;46{,}8,\;46{,}8,\;46{,}9)
  • Classe [47{,}5,\;50{,}0]: f_6=4. (valores: 47{,}8,\;48{,}6,\;48{,}8,\;48{,}9)
Verificação: 5+10+6+8+7+4=40 (soma correta).
Agora calculo a frequência relativa fr_i=\dfrac{f_i}{n} e a frequência percentual \%\!f_i = 100\cdot fr_i.
Cálculos:
\begin{aligned} &fr_1=\dfrac{5}{40}=0{,}125,\quad \%\!f_1=12{,}5\%,\\\ &fr_2=\dfrac{10}{40}=0{,}25,\quad \%\!f_2=25{,}0\%,\\\ &fr_3=\dfrac{6}{40}=0{,}15,\quad \%\!f_3=15{,}0\%,\\\ &fr_4=\dfrac{8}{40}=0{,}20,\quad \%\!f_4=20{,}0\%,\\\ &fr_5=\dfrac{7}{40}=0{,}175,\quad \%\!f_5=17{,}5\%,\\\ &fr_6=\dfrac{4}{40}=0{,}10,\quad \%\!f_6=10{,}0\%. \end{aligned}
Colocando tudo em uma tabela (resumo para consulta rápida):
\begin{array}{lccc} \text{Classe (}\Omega\text{)} & f_i & fr_i & \%\!f_i\\hline [35{,}0,\;37{,}5) & 5 & 0{,}125 & 12{,}5\%\\\ [37{,}5,\;40{,}0) & 10 & 0{,}25 & 25{,}0\%\\\ [40{,}0,\;42{,}5) & 6 & 0{,}15 & 15{,}0\%\\\ [42{,}5,\;45{,}0) & 8 & 0{,}20 & 20{,}0\%\\\ [45{,}0,\;47{,}5) & 7 & 0{,}175 & 17{,}5\%\\\ [47{,}5,\;50{,}0] & 4 & 0{,}10 & 10{,}0\%\\hline \text{Total} & 40 & 1{,}00 & 100{,}0\% \end{array}

Passo 4

Agora respondo às perguntas d), e) e f) usando contagens diretas nas observações (explico a lógica e mostro a conta).
d) Porcentagem de resistores com resistência menor que 39,31\\ \Omega.
Procedimento: contar quantas observações satisfazem x<39{,}31. Fazendo a checagem nas 40 observações (peguei os valores diretamente da lista), encontrei 11 observações menores que 39{,}31. Portanto
\text{porcentagem}=\dfrac{11}{40}=0{,}275=27{,}5\%.
e) Porcentagem de resistores com resistência maior que 42,05\\ \Omega.
Procedimento: contar quantas observações satisfazem x>42{,}05. Contando na lista obtive 19 observações maiores que 42{,}05. Portanto
\text{porcentagem}=\dfrac{19}{40}=0{,}475=47{,}5\%.
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre 36,57\\ \Omega e 47,53\\ \Omega?
Convencionalmente interpreto “entre” como incluir os extremos (ou seja, 36{,}57\le x\le 47{,}53). Contando na lista as observações que satisfazem esta condição, encontrei 31 resistores. Logo a resposta é 31.

Passo 5

Construção do histograma e do polígono de frequência (explicação didática e dados prontos para plotagem).
O que é o histograma? É um gráfico de barras contínuas onde cada barra representa uma classe de valores: a base da barra é a classe (com largura h) e a altura é a frequência absoluta (ou densidade de frequência). Para dados contínuos, as barras ficam encostadas (sem espaços).
Como desenhar o histograma para os nossos dados:
  • Use as classes definidas no Passo 2 como as bases das barras: [35{,}0,37{,}5),[37{,}5,40{,}0),\dots,[47{,}5,50{,}0].
  • A largura de cada barra é h=2{,}5\\ \Omega.
  • A altura de cada barra pode ser proporcional à frequência absoluta f_i (ou à densidade f_i/h, se quiser comparar classes de largura diferente — aqui todas têm mesma largura, então usar f_i é suficiente).
  • As alturas (frequências f_i) são: 5,10,6,8,7,4.
Pontos para o polígono de frequência:
  • O polígono tem vértices nos pontos (m_i,\;f_i), onde m_i é o ponto médio da classe i. Os pontos médios são:
\begin{aligned} &m_1=\dfrac{35{,}0+37{,}5}{2}=36{,}25,\\\ &m_2=\dfrac{37{,}5+40{,}0}{2}=38{,}75,\\\ &m_3=\dfrac{40{,}0+42{,}5}{2}=41{,}25,\\\ &m_4=\dfrac{42{,}5+45{,}0}{2}=43{,}75,\\\ &m_5=\dfrac{45{,}0+47{,}5}{2}=46{,}25,\\\ &m_6=\dfrac{47{,}5+50{,}0}{2}=48{,}75. \end{aligned}
  • Então os pontos para traçar o polígono são:
(36{,}25,\;5),\\ (38{,}75,\;10),\\ (41{,}25,\;6),\\ (43{,}75,\;8),\\ (46{,}25,\;7),\\ (48{,}75,\;4).
  • Para “fechar” o polígono costuma-se acrescentar dois pontos com frequência zero antes do primeiro e depois do último, por exemplo em 36{,}25 - h/2 = 35{,}0 - 0{,}0 e 48{,}75 + h/2 (ou simplesmente conectar ao eixo x nas bordas do histograma).
Se for desenhar à mão ou num software:
  • No eixo horizontal coloque resistência (em \Omega), eixo vertical frequência absoluta f.
  • Desenhe barras com bases nas classes e alturas iguais às frequências f_i.
  • Para o polígono marque os pontos (m_i,f_i) e una-os com segmentos retos.

Passo 6

Classificação quanto à simetria (explicação e cálculo de medidas que ajudam a julgar o viés da distribuição).
Duas medidas simples que comparam a simetria são a média e a mediana:
  • A média amostral é \bar x = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Somando todas as observações (veja a soma feita a partir da lista) obtive \sum x_i = 1687{,}6\\ \Omega, logo
\bar x = \dfrac{1687{,}6}{40}=42{,}19\\ \Omega.
  • A mediana (posição central) para n=40 é a média entre a 20-ésima e a 21-ésima observações quando os dados estão ordenados. Ordenando os 40 valores (fiz a ordenação), as observações de posição 20 e 21 são 41{,}4 e 41{,}7. Então a mediana é
\text{mediana}=\dfrac{41{,}4+41{,}7}{2}=41{,}55\\ \Omega.
Interpretação: aqui \bar x=42{,}19> mediana =41{,}55. Quando a média é maior que a mediana isso indica assimetria à direita (ou assimetria positiva): há uma cauda estendendo-se para valores mais altos. Observando os dados e o histograma (mais observações concentradas em classes mais baixas e alguns valores bem altos como 48{,}9), a distribuição é assimétrica à direita.
Conclusão: distribuição assimétrica positivamente (com cauda à direita).

Resposta

a) A variável é a resistência dos resistores (medida em ohms).
b) Variável quantitativa contínua.
c) Tabela de distribuição de frequência (com n=40, h=2{,}5\\ \Omega):
[35{,}0,\;37{,}5): f=5,\;fr=0{,}125,\;\%f=12{,}5\%
[37{,}5,\;40{,}0): f=10,\;fr=0{,}25,\;\%f=25{,}0\%
[40{,}0,\;42{,}5): f=6,\;fr=0{,}15,\;\%f=15{,}0\%
[42{,}5,\;45{,}0): f=8,\;fr=0{,}20,\;\%f=20{,}0\%
[45{,}0,\;47{,}5): f=7,\;fr=0{,}175,\;\%f=17{,}5\%
[47{,}5,\;50{,}0]: f=4,\;fr=0{,}10,\;\%f=10{,}0\%
d) 27{,}5\%
e) 47{,}5\%
f) 31 resistores
g) Histograma: barras com base nas classes acima e alturas (frequências) 5,10,6,8,7,4. Polígono de frequência: segmentos que ligam os pontos médios e frequências (36{,}25,5),\\ (38{,}75,10),\\ (41{,}25,6),\\ (43{,}75,8),\\ (46{,}25,7),\\ (48{,}75,4).
h) A distribuição é assimétrica à direita (assimetria positiva).

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