- Os dados a seguir referem-se à resistência, em ohms, de uma amostra de 40 resistores (dados brutos).
38,9
35,7
41,2
35,2
46,2
48,8
39,6
41,7
46,8
36,1
46,5
36,3
43,4
44,3
43,2
39,8
38,1
41,2
44,6
39,5
47,8
44,7
41,4
44,2
46,8
38,5
45,2
42,6
41,1
48,9
46,8
37,6
38,8
36,5
38,5
41,3
39,8
44,5
46,9
48,6
a) Qual a variável sob análise;
b) Classifique a variável;
c) De acordo com o tipo de variável construa a tabela de distribuição de frequências, com as frequências: absoluta, relativa e percentual;
d) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências menores que 39,31 ohms?
e) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências maiores que 42,05 ohms?
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre 36,57 e 47,53 ohms?
g) Construa o histograma e o polígono de frequência;
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.
| 38,9 | 35,7 | 41,2 | 35,2 | 46,2 | 48,8 | 39,6 | 41,7 |
| 46,8 | 36,1 | 46,5 | 36,3 | 43,4 | 44,3 | 43,2 | 39,8 |
| 38,1 | 41,2 | 44,6 | 39,5 | 47,8 | 44,7 | 41,4 | 44,2 |
| 46,8 | 38,5 | 45,2 | 42,6 | 41,1 | 48,9 | 46,8 | 37,6 |
| 38,8 | 36,5 | 38,5 | 41,3 | 39,8 | 44,5 | 46,9 | 48,6 |
b) Classifique a variável;
c) De acordo com o tipo de variável construa a tabela de distribuição de frequências, com as frequências: absoluta, relativa e percentual;
d) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências menores que 39,31 ohms?
e) Qual a porcentagem de resistores que apresentaram resistências maiores que 42,05 ohms?
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre 36,57 e 47,53 ohms?
g) Construa o histograma e o polígono de frequência;
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
resistores e os seus valores de resistência (em ohms). Vou listar claramente o que é pedido e quais são os dados relevantes.
Dados (pegos do enunciado):
Perguntas do enunciado:
a) Qual a variável sob análise?
b) Classifique a variável (tipo).
c) Construir tabela de distribuição de frequências (frequência absoluta, relativa e percentual).
d) Qual a porcentagem de resistores com resistência menor que ?
e) Qual a porcentagem de resistores com resistência maior que ?
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre e
?
g) Construa o histograma e o polígono de frequência.
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.
a) Qual a variável sob análise?
b) Classifique a variável (tipo).
c) Construir tabela de distribuição de frequências (frequência absoluta, relativa e percentual).
d) Qual a porcentagem de resistores com resistência menor que
e) Qual a porcentagem de resistores com resistência maior que
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre
g) Construa o histograma e o polígono de frequência.
h) Classifique a distribuição quanto à simetria.
Passo 2
Primeiro vamos olhar a natureza dos dados e decidir como montar a tabela de frequência (explicando a teoria passo a passo).
O que é uma variável aqui? Cada observação é a resistência de um resistor medida em ohms. É importante identificar se é qualitativa ou quantitativa e se é contínua ou discreta:
- Variável quantitativa: assume valores numéricos que podem ser ordenados e usados em operações aritméticas.
- Quantitativa contínua: quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo (a resistência medida com casas decimais normalmente é contínua).
Como as resistências são números com casas decimais (por exemplo, ), isso indica uma variável quantitativa contínua.
Para construir uma tabela de classes (histograma) precisamos:
- Número de observações
. - Escolher o número de classes
. Uma regra simples (e comum) é a regra de Sturges: . Aqui , então escolhemos classes (nada mágico: é prático e suficiente). - Calcular a amplitude (alcance) dos dados:
. Vou pegar o mínimo e o máximo dos dados (peguei-os da lista): e . Então
- Largura de classe aproximada
. Para facilitar a construção do histograma escolho uma largura de classe arredondada e conveniente: . Com as classes cobrirão a amostra inteira (pois ). - Definir os limites de classe de forma clara. Vou tomar a convenção usual: intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, exceto a última classe que inclui o limite superior. E escolho começar em
(um número redondo menor que o mínimo ). Assim as classes são:
(última classe escrita com
para incluir
.)
Passo 3
Agora conto quantos valores caem em cada classe (vou explicar como fazer a contagem e mostrar o resultado). Para não errar, verifiquei cada observação da lista e a coloquei na classe apropriada.
Contagens (frequência absoluta
):
- Classe
: . (valores: ) - Classe
: . (valores: ) - Classe
: . (valores: ) - Classe
: . (valores: ) - Classe
: . (valores: ) - Classe
: . (valores: )
Verificação:
(soma correta).
Agora calculo a frequência relativa
e a frequência percentual
.
Cálculos:
Colocando tudo em uma tabela (resumo para consulta rápida):
Passo 4
Agora respondo às perguntas d), e) e f) usando contagens diretas nas observações (explico a lógica e mostro a conta).
d) Porcentagem de resistores com resistência menor que
.
Procedimento: contar quantas observações satisfazem
. Fazendo a checagem nas 40 observações (peguei os valores diretamente da lista), encontrei
observações menores que
. Portanto
e) Porcentagem de resistores com resistência maior que
.
Procedimento: contar quantas observações satisfazem
. Contando na lista obtive
observações maiores que
. Portanto
f) Quantos resistores apresentaram resistências entre
e
?
Convencionalmente interpreto “entre” como incluir os extremos (ou seja,
). Contando na lista as observações que satisfazem esta condição, encontrei
resistores. Logo a resposta é
.
Passo 5
Construção do histograma e do polígono de frequência (explicação didática e dados prontos para plotagem).
O que é o histograma? É um gráfico de barras contínuas onde cada barra representa uma classe de valores: a base da barra é a classe (com largura
) e a altura é a frequência absoluta (ou densidade de frequência). Para dados contínuos, as barras ficam encostadas (sem espaços).
Como desenhar o histograma para os nossos dados:
- Use as classes definidas no Passo 2 como as bases das barras:
. - A largura de cada barra é
. - A altura de cada barra pode ser proporcional à frequência absoluta
(ou à densidade , se quiser comparar classes de largura diferente — aqui todas têm mesma largura, então usar é suficiente). - As alturas (frequências
) são: .
Pontos para o polígono de frequência:
- O polígono tem vértices nos pontos
, onde é o ponto médio da classe . Os pontos médios são:
- Então os pontos para traçar o polígono são:
- Para “fechar” o polígono costuma-se acrescentar dois pontos com frequência zero antes do primeiro e depois do último, por exemplo em
e (ou simplesmente conectar ao eixo nas bordas do histograma).
Se for desenhar à mão ou num software:
- No eixo horizontal coloque resistência (em
), eixo vertical frequência absoluta . - Desenhe barras com bases nas classes e alturas iguais às frequências
. - Para o polígono marque os pontos
e una-os com segmentos retos.
Passo 6
Classificação quanto à simetria (explicação e cálculo de medidas que ajudam a julgar o viés da distribuição).
Duas medidas simples que comparam a simetria são a média e a mediana:
- A média amostral é
. Somando todas as observações (veja a soma feita a partir da lista) obtive , logo
- A mediana (posição central) para
é a média entre a -ésima e a -ésima observações quando os dados estão ordenados. Ordenando os 40 valores (fiz a ordenação), as observações de posição e são e . Então a mediana é
Interpretação: aqui
mediana
. Quando a média é maior que a mediana isso indica assimetria à direita (ou assimetria positiva): há uma cauda estendendo-se para valores mais altos. Observando os dados e o histograma (mais observações concentradas em classes mais baixas e alguns valores bem altos como
), a distribuição é assimétrica à direita.
Conclusão: distribuição assimétrica positivamente (com cauda à direita).
Resposta
a) A variável é a resistência dos resistores (medida em ohms).
b) Variável quantitativa contínua.
c) Tabela de distribuição de frequência (com ,
):
b) Variável quantitativa contínua.
c) Tabela de distribuição de frequência (com
d)
e)
f)
resistores
g) Histograma: barras com base nas classes acima e alturas (frequências)
. Polígono de frequência: segmentos que ligam os pontos médios e frequências
.
h) A distribuição é assimétrica à direita (assimetria positiva).