Dados
arbitrários, mostre que:
A equação
admite uma única solução em
.
A equação
Passo 1
Enunciado e dados claros: foram dados
quaisquer. Pede-se mostrar que a equação
tem exatamente uma solução em
. Ou seja, preciso provar duas coisas: (i) existe pelo menos um inteiro
que satisfaz a equação; (ii) tal inteiro é único (não podem existir dois inteiros distintos que satisfaçam a mesma equação).
Passo 2
Lembranças úteis (propriedades dos inteiros que vou usar, explicadas de forma direta):
- Fechamento: se
, então . - Existência do elemento neutro: existe
tal que para todo . - Existência de inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Associatividade e comutatividade da adição em
: pode-se reordenar e agrupar somas sem problema.
Com essas propriedades, a operação
é definida como
e pertence a
(pela existência do inverso e fechamento).
Passo 3
Construção da solução (existência): proponho como candidato
Justifico que
: como
, temos
e, por fechamento,
.
Agora verifico que esse
realmente satisfaz a equação:
Usando associatividade e comutatividade posso reescrever agrupando
com
:
Portanto
, ou seja,
é de fato uma solução. Assim a existência está provada.
Passo 4
Prova da unicidade: suponha que existam duas soluções
tal que
Então as duas igualdades dão
Agora somo ambos os lados com o inverso aditivo
(isto é perfeitamente legítimo em
):
Pela associatividade:
Como
, segue
Pelo elemento neutro, isso dá
. Logo não podem existir duas soluções distintas; a solução é única.
Passo 5
Resumo final e um exemplo para fixar (rapidinho, tipo colega explicando): concluímos que existe exatamente um inteiro que resolve
, e ele é
. Exemplo numérico: se
e
, então
e
. Se alguém dissesse que
funciona, ao verificar veríamos
, então não serve — por isso a solução é única. Força aí — esse tipo de exercício é sempre mecânico: isolar
usando o inverso aditivo.