Dados a, b \in \mathbb{Z} arbitrários, mostre que:
A equação a+x=b admite uma única solução em \mathbb{Z}.

Passo 1

Enunciado e dados claros: foram dados a,b\in\mathbb{Z} quaisquer. Pede-se mostrar que a equação
a+x=b
tem exatamente uma solução em \mathbb{Z}. Ou seja, preciso provar duas coisas: (i) existe pelo menos um inteiro x que satisfaz a equação; (ii) tal inteiro é único (não podem existir dois inteiros distintos que satisfaçam a mesma equação).

Passo 2

Lembranças úteis (propriedades dos inteiros que vou usar, explicadas de forma direta):
  • Fechamento: se u,v\in\mathbb{Z}, então u+v\in\mathbb{Z}.
  • Existência do elemento neutro: existe 0\in\mathbb{Z} tal que u+0=u para todo u\in\mathbb{Z}.
  • Existência de inverso aditivo: para todo u\in\mathbb{Z} existe -u\in\mathbb{Z} tal que u+(-u)=0.
  • Associatividade e comutatividade da adição em \mathbb{Z}: pode-se reordenar e agrupar somas sem problema.
Com essas propriedades, a operação b-a é definida como b+(-a) e pertence a \mathbb{Z} (pela existência do inverso e fechamento).

Passo 3

Construção da solução (existência): proponho como candidato
x=b-a.
Justifico que x\in\mathbb{Z}: como a,b\in\mathbb{Z}, temos -a\in\mathbb{Z} e, por fechamento, b+(-a)\in\mathbb{Z}.
Agora verifico que esse x realmente satisfaz a equação:
a+(b-a)=a+(b+(-a)).
Usando associatividade e comutatividade posso reescrever agrupando a com -a:
a+(b+(-a))=(a+(-a))+b=0+b=b.
Portanto a+(b-a)=b, ou seja, x=b-a é de fato uma solução. Assim a existência está provada.

Passo 4

Prova da unicidade: suponha que existam duas soluções x_1,x_2\in\mathbb{Z} tal que
a+x_1=b\quad\text{e}\quad a+x_2=b.
Então as duas igualdades dão
a+x_1=a+x_2.
Agora somo ambos os lados com o inverso aditivo -a (isto é perfeitamente legítimo em \mathbb{Z}):
(-a)+(a+x_1)=(-a)+(a+x_2).
Pela associatividade:
((-a)+a)+x_1 = ((-a)+a)+x_2.
Como (-a)+a=0, segue
0+x_1=0+x_2.
Pelo elemento neutro, isso dá x_1=x_2. Logo não podem existir duas soluções distintas; a solução é única.

Passo 5

Resumo final e um exemplo para fixar (rapidinho, tipo colega explicando): concluímos que existe exatamente um inteiro que resolve a+x=b, e ele é x=b-a. Exemplo numérico: se a=3 e b=7, então x=7-3=4 e 3+4=7. Se alguém dissesse que x=5 funciona, ao verificar veríamos 3+5=8\neq7, então não serve — por isso a solução é única. Força aí — esse tipo de exercício é sempre mecânico: isolar x usando o inverso aditivo.

Resposta

x=b-a