Dados A, B \subset \mathbb{R} conjuntos limitados de números reais positivos. Seja
A \cdot B=\{x \cdot y \mid x \in A, y \in B\}
Prove que:
\inf (A \cdot B)=\inf A \cdot \inf B.

Passo 1

O enunciado nos dá dois conjuntos A,B\subset\mathbb{R} que são limitados e cujos elementos são números reais positivos. Define-se o produto
A\cdot B=\{x\cdot y \mid x\in A,\;y\in B\}.
O que se pede: provar que
\inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B.
Informações relevantes dadas:
  • A e B são conjuntos de números reais positivos (portanto todos os elementos são >0).
  • A e B são limitados (logo possuem ínfimo finito).
  • A operação considerada é o produto ponto a ponto de elementos de A com elementos de B.

Passo 2

Denotemos
\alpha=\inf A,\qquad \beta=\inf B,\qquad \gamma=\inf(A\cdot B).
Vou lembrar o que significa ínfimo (para que fique claro o que preciso provar): um número s é o ínfimo de um conjunto S quando
  1. s é uma cota inferior de S (isto é, s\le z para todo z\in S); e
  2. s é a maior das cotas inferiores, ou equivalentemente: para todo \varepsilon>0 existe z\in S tal que z<s+\varepsilon.
    A estratégia será: (i) mostrar que \alpha\beta é uma cota inferior de A\cdot B e portanto \alpha\beta\le\gamma; (ii) mostrar que para todo \varepsilon>0 existe x\in A\cdot B com x<\alpha\beta+\varepsilon, o que dá \gamma\le\alpha\beta. Essas duas desigualdades juntas dão a igualdade desejada.

Passo 3

Mostrando que \alpha\beta é cota inferior de A\cdot B.
Tomemos quaisquer x\in A e y\in B. Pela definição de ínfimo temos x\ge\alpha e y\ge\beta. Como x e y são números positivos, podemos multiplicar as desigualdades e obter
xy \ge \alpha\beta.
Isto vale para todo x\in A e todo y\in B, portanto \alpha\beta é cota inferior de A\cdot B. Em particular,
\alpha\beta \le \gamma.

Passo 4

Mostrando que \gamma\le\alpha\beta (a parte de “aproximar por cima” que garante maximalidade da cota inferior).
Para usar a propriedade (2) do ínfimo, peço: dado \varepsilon>0, preciso encontrar u\in A\cdot B tal que u<\alpha\beta+\varepsilon. Vou construir u como produto de um a\in A e um b\in B com a próximo de \alpha e b próximo de \beta.
Como \alpha=\inf A, para qualquer \delta>0 existe a\in A com a<\alpha+\delta. De modo análogo, existe b\in B com b<\beta+\delta. A escolha de \delta será feita em função de \varepsilon de modo a controlar o produto.

Passo 5

Escolha de \delta. Seja \varepsilon>0 dado. Tome
\delta=\min\!\left(1,\;\frac{\varepsilon}{1+\alpha+\beta}\right).
Observações: \delta>0. A escolha garante que \delta^2\le\delta e também que (\alpha+\beta+1)\delta\le\varepsilon. Essas duas desigualdades serão úteis para estimar o produto.
Pela propriedade do ínfimo existem a\in A e b\in B tais que
a<\alpha+\delta,\qquad b<\beta+\delta.

Passo 6

Estimativa do produto ab.
Multiplicando as duas desigualdades acima,
ab < (\alpha+\delta)(\beta+\delta) = \alpha\beta + \alpha\delta + \beta\delta + \delta^2.
Agora usamos \delta^2\le\delta para obter
\alpha\delta + \beta\delta + \delta^2 \le (\alpha+\beta+1)\delta.
Pela escolha de \delta temos (\alpha+\beta+1)\delta\le\varepsilon. Então
ab < \alpha\beta + \varepsilon.
Assim encontramos um elemento ab\in A\cdot B com ab<\alpha\beta+\varepsilon.

Passo 7

Conclusão da segunda desigualdade. A construção do Passo 6 vale para qualquer \varepsilon>0, portanto pela propriedade do ínfimo segue que
\gamma=\inf(A\cdot B)\le \alpha\beta.

Passo 8

Juntando as duas desigualdades obtidas:
\alpha\beta \le \gamma \le \alpha\beta.
Portanto igualdade ocorre, isto é
\inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B.

Resposta

\inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B

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