Dados
conjuntos limitados de números reais positivos. Seja
Prove que:
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois conjuntos
que são limitados e cujos elementos são números reais positivos. Define-se o produto
O que se pede: provar que
Informações relevantes dadas:
-
e são conjuntos de números reais positivos (portanto todos os elementos são ). -
e são limitados (logo possuem ínfimo finito). - A operação considerada é o produto ponto a ponto de elementos de
com elementos de .
Passo 2
Denotemos
Vou lembrar o que significa ínfimo (para que fique claro o que preciso provar): um número
é o ínfimo de um conjunto
quando
-
é uma cota inferior de (isto é, para todo ); e -
é a maior das cotas inferiores, ou equivalentemente: para todo existe tal que .
A estratégia será: (i) mostrar queé uma cota inferior de e portanto ; (ii) mostrar que para todo existe com , o que dá . Essas duas desigualdades juntas dão a igualdade desejada.
Passo 3
Mostrando que
é cota inferior de
.
Tomemos quaisquer
e
. Pela definição de ínfimo temos
e
. Como
e
são números positivos, podemos multiplicar as desigualdades e obter
Isto vale para todo
e todo
, portanto
é cota inferior de
. Em particular,
Passo 4
Mostrando que
(a parte de “aproximar por cima” que garante maximalidade da cota inferior).
Para usar a propriedade (2) do ínfimo, peço: dado
, preciso encontrar
tal que
. Vou construir
como produto de um
e um
com
próximo de
e
próximo de
.
Como
, para qualquer
existe
com
. De modo análogo, existe
com
. A escolha de
será feita em função de
de modo a controlar o produto.
Passo 5
Escolha de
. Seja
dado. Tome
Observações:
. A escolha garante que
e também que
. Essas duas desigualdades serão úteis para estimar o produto.
Pela propriedade do ínfimo existem
e
tais que
Passo 6
Estimativa do produto
.
Multiplicando as duas desigualdades acima,
Agora usamos
para obter
Pela escolha de
temos
. Então
Assim encontramos um elemento
com
.
Passo 7
Conclusão da segunda desigualdade. A construção do Passo 6 vale para qualquer
, portanto pela propriedade do ínfimo segue que
Passo 8
Juntando as duas desigualdades obtidas:
Portanto igualdade ocorre, isto é