Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
y=\operatorname{tg}^{-1}\left(x-\sqrt{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\operatorname{tg}^{-1}\!\bigl(x-\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é composta: primeiro calcula-se u(x)=x-\sqrt{1+x^{2}} e depois aplica-se a função \operatorname{tg}^{-1}.
  • Precisa-se encontrar y'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}^{-1}\!\bigl(u(x)\bigr) e simplificar o resultado.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia + derivada do arco-tangente): se y=\operatorname{tg}^{-1}\!(u(x)), então, pela regra da cadeia,
y'=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Explicando isso devagar: a derivada da função \operatorname{tg}^{-1}\!(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Se t depende de x (ou seja t=u(x)), então aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por u'(x).

Passo 3

Definimos u(x)=x-\sqrt{1+x^{2}}. Vamos calcular u'(x) passo a passo.
Derivada de x é 1. Para a raiz, use que \dfrac{d}{dx}\sqrt{g(x)}=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}. Aqui g(x)=1+x^{2} tem g'(x)=2x, logo
\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}}=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
u'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 4

Simplificamos u'(x). Colocando em uma única fração:
u'(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Uma identidade útil (racionalização) é observar que
\sqrt{1+x^{2}}-x=\frac{(\sqrt{1+x^{2}}-x)(\sqrt{1+x^{2}}+x)}{\sqrt{1+x^{2}}+x} =\frac{1+x^{2}-x^{2}-1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}.
Portanto podemos escrever
u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)}.
(Isto é útil para cancelar fatores com 1+u^{2} adiante.)

Passo 5

Agora calculamos 1+u(x)^{2}. Primeiro observe que, por racionalização também,
u(x)=x-\sqrt{1+x^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}.
Logo
u(x)^{2}=\frac{1}{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}}.
Assim
1+u(x)^{2}=1+\frac{1}{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}} =\frac{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}+1}{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}}.

Passo 6

Agora juntamos tudo na fórmula da derivada:
y'=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)}}{\dfrac{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}+1}{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}}}.
Multiplicando e simplificando fracções obtemos
y'=\frac{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)}{\sqrt{1+x^{2}}\!\left(\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}+1\right)}.

Passo 7

Agora simplificamos o denominador \bigl(\sqrt{1+x^{2}}+x\bigr)^{2}+1. Seja s=\sqrt{1+x^{2}}. Então
\bigl(s+x\bigr)^{2}+1=x^{2}+2xs+s^{2}+1.
Como s^{2}=1+x^{2}, temos
\bigl(s+x\bigr)^{2}+1= x^{2}+2xs+(1+x^{2})+1 = 2\bigl(x^{2}+xs+1\bigr).
Observe que x^{2}+xs+1 = s(x+s) porque s(x+s)=sx+s^{2}=sx+(1+x^{2})=x^{2}+xs+1. Portanto
\bigl(s+x\bigr)^{2}+1 = 2\,s(x+s).

Passo 8

Substituindo essa expressão em y' (lembre que s=\sqrt{1+x^{2}}) obtemos
y'=\frac{x+s}{s\cdot 2s(x+s)}=\frac{1}{2s^{2}}.
Finalmente, voltando a x,
s^{2}=1+x^{2}\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{1}{2(1+x^{2})}.

Resposta

y'=\frac{1}{2(1+x^{2})}

Exercícios relacionados