Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é composta: primeiro calcula-se
e depois aplica-se a função . - Precisa-se encontrar
e simplificar o resultado.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia + derivada do arco-tangente): se
, então, pela regra da cadeia,
Explicando isso devagar: a derivada da função
em relação a
é
. Se
depende de
(ou seja
), então aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por
.
Passo 3
Definimos
. Vamos calcular
passo a passo.
Derivada de
é
. Para a raiz, use que
. Aqui
tem
, logo
Portanto
Passo 4
Simplificamos
. Colocando em uma única fração:
Uma identidade útil (racionalização) é observar que
Portanto podemos escrever
(Isto é útil para cancelar fatores com
adiante.)
Passo 5
Agora calculamos
. Primeiro observe que, por racionalização também,
Logo
Assim
Passo 6
Agora juntamos tudo na fórmula da derivada:
Multiplicando e simplificando fracções obtemos
Passo 7
Agora simplificamos o denominador
. Seja
. Então
Como
, temos
Observe que
porque
. Portanto
Passo 8
Substituindo essa expressão em
(lembre que
) obtemos
Finalmente, voltando a
,