Seja
tal que
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
e que
. O que se pede é mostrar que
.
Vou deixar explícito o que significa cada coisa:
- Dados:
e . - Objetivo: provar que
, isto é, provar que .
Passo 2
Lembrete útil (propriedades básicas que vamos usar):
- Definição:
. - Lei do tricotomia: para todo
exatamente uma das afirmações é verdadeira: , ou . - Propriedade do produto em um corpo ordenado: se
e então . Além disso, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.
Como temos
, pela tricotomia restam duas possibilidades:
ou
. Vou tratar cada caso.
Passo 3
Caso
.
Aqui usamos a propriedade: multiplicar duas quantidades positivas dá um número positivo. Aplicando com
(que são positivos por hipótese), obtemos imediatamente
Portanto, quando
temos
.
Passo 4
Caso
.
Defina
. Como
, segue que
. Agora quero relacionar
com
. Note que
, então
Vou mostrar que
. Para isso uso a decomposição
e a propriedade distributiva e do produto:
Resta ver que
. Uma maneira padrão de provar isso é:
Como
, a expressão acima reduz a
Somando
aos dois lados vem
. Assim
Logo
. Como
, do caso anterior (produto de positivos) temos
. Portanto
. Assim, quando
também obtemos
.
Passo 5
Concluindo: pelos dois casos possíveis (
ou
) obtivemos
. Como
exclui a possibilidade
, cobrimos todas as situações. Portanto para todo
com
vale
.
Um exemplo rápido para fixar:
.
. Viu como funciona na prática? 😉