Seja x \in \mathbb{R} tal que x \neq 0, então x^{2} \in \mathbb{R}^{+}.

Passo 1

O enunciado dá que x\in\mathbb{R} e que x\neq 0. O que se pede é mostrar que x^{2}\in\mathbb{R}^{+}.
Vou deixar explícito o que significa cada coisa:
  • Dados: x\in\mathbb{R} e x\neq 0.
  • Objetivo: provar que x^{2}\in\mathbb{R}^{+}, isto é, provar que x^{2}>0.

Passo 2

Lembrete útil (propriedades básicas que vamos usar):
  • Definição: \mathbb{R}^{+}=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}.
  • Lei do tricotomia: para todo x\in\mathbb{R} exatamente uma das afirmações é verdadeira: x>0, x=0 ou x<0.
  • Propriedade do produto em um corpo ordenado: se a>0 e b>0 então ab>0. Além disso, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.
Como temos x\neq 0, pela tricotomia restam duas possibilidades: x>0 ou x<0. Vou tratar cada caso.

Passo 3

Caso x>0.
Aqui usamos a propriedade: multiplicar duas quantidades positivas dá um número positivo. Aplicando com a=b=x (que são positivos por hipótese), obtemos imediatamente
x^{2}=x\cdot x>0.
Portanto, quando x>0 temos x^{2}\in\mathbb{R}^{+}.

Passo 4

Caso x<0.
Defina y=-x. Como x<0, segue que y>0. Agora quero relacionar x^{2} com y^{2}. Note que x=-y, então
x^{2}=(-y)^{2}=(-y)\cdot(-y).
Vou mostrar que ( -y)(-y)=y\cdot y. Para isso uso a decomposição -y=(-1)\cdot y e a propriedade distributiva e do produto:
(-y)(-y)=(-1\cdot y)(-1\cdot y)=(-1)(-1)\cdot y\cdot y.
Resta ver que (-1)(-1)=1. Uma maneira padrão de provar isso é:
0=(1+(-1))(1+(-1))=1+(-1)+(-1)+(-1)(-1).
Como 1+(-1)=0, a expressão acima reduz a
0=-1+(-1)(-1).
Somando 1 aos dois lados vem (-1)(-1)=1. Assim
(-y)(-y)=1\cdot y^{2}=y^{2}.
Logo x^{2}=y^{2}. Como y>0, do caso anterior (produto de positivos) temos y^{2}>0. Portanto x^{2}>0. Assim, quando x<0 também obtemos x^{2}\in\mathbb{R}^{+}.

Passo 5

Concluindo: pelos dois casos possíveis ( x>0 ou x<0 ) obtivemos x^{2}>0. Como x\neq 0 exclui a possibilidade x=0, cobrimos todas as situações. Portanto para todo x\in\mathbb{R} com x\neq 0 vale x^{2}\in\mathbb{R}^{+}.
Um exemplo rápido para fixar: x=2\Rightarrow x^{2}=4>0. x=-3\Rightarrow x^{2}=9>0. Viu como funciona na prática? 😉

Resposta

x^{2}\in\mathbb{R}^{+}

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