Dados
não-vazios e limitados, seja
. Prove:
(a)
é limitado;
(b)
;
(c)
;
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado entrega dois subconjuntos não vazios e limitados de
, chamados
e
, e define
Precisamos provar três coisas usando apenas as definições de conjunto limitado, de supremo e de ínfimo, mais as propriedades usuais de desigualdades em
.
Passo 2
Para mostrar que
é limitado, seja
e
, e seja
e
. Como
para todo
e
para todo
, segue que
logo
é uma cota superior de
. De modo análogo,
e
implicam
de modo que
é cota inferior de
. Concluímos que
é limitado.
Passo 3
Vamos provar que
Primeiro, já vimos que
é cota superior de
. Agora, dado qualquer
, pela definição de supremo existem
Então
o que mostra que não há cota superior menor que
. Portanto
.
Passo 4
De forma completamente análoga, definindo
e
, já sabemos que
é cota inferior de
. Dado
, existem
Logo
o que impede qualquer cota inferior maior que
. Assim
.
Resposta
(a)
é limitado porque
para todo
,
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)