Dado
não-vazio, limitado inferiormente, seja
. Prove que
é limitado superiormente e que
.
Passo 1
O enunciado considera um conjunto não-vazio
que é limitado inferiormente e define
Precisamos usar propriedades de cotas inferiores e superiores em
(completude) para mostrar que
é limitado superiormente e que
Passo 2
Como
é limitado inferiormente, existe
tal que
Se
, então
para algum
. Da desigualdade acima segue
portanto
é uma cota superior de
. Logo,
é limitado superiormente.
Passo 3
Pela completude de
, como
é não-vazio e limitado superiormente, existe
Vamos mostrar que
é o ínfimo de
.
Passo 4
Primeiro, para qualquer
temos
, logo
Isso mostra que
é uma cota inferior de
.
Agora seja
qualquer cota inferior de
. Então
para todo
, o que implica
ou seja,
é cota superior de
. Como
é supremum de
, tem-se
, ou seja
.
Portanto
é o maior entre todos os limites inferiores de
, o que é justamente a definição de
. Concluímos