Dado A \subset \mathbb{R} não-vazio, limitado inferiormente, seja -A=\{-x \mid x \in A\}. Prove que -A é limitado superiormente e que \inf A=-\sup (-A).

Passo 1

O enunciado considera um conjunto não-vazio A\subset\mathbb{R} que é limitado inferiormente e define
- A = \{-x \mid x\in A\}.
Precisamos usar propriedades de cotas inferiores e superiores em \mathbb{R} (completude) para mostrar que -A é limitado superiormente e que
\inf A \;=\; -\,\sup(-A).

Passo 2

Como A é limitado inferiormente, existe m\in\mathbb{R} tal que
m \le x \quad\text{para todo }x\in A.
Se y\in -A, então y=-x para algum x\in A. Da desigualdade acima segue
-\,x \le -\,m,
portanto -m é uma cota superior de -A. Logo, -A é limitado superiormente.

Passo 3

Pela completude de \mathbb{R}, como -A é não-vazio e limitado superiormente, existe
s = \sup(-A).
Vamos mostrar que -s é o ínfimo de A.

Passo 4

Primeiro, para qualquer x\in A temos -x\in -A, logo
-\,x \le s \quad\Longrightarrow\quad x \ge -\,s.
Isso mostra que -s é uma cota inferior de A.
Agora seja L qualquer cota inferior de A. Então L \le x para todo x\in A, o que implica
-\,x \le -\,L \quad\text{para todo }x\in A,
ou seja, -L é cota superior de -A. Como s é supremum de -A, tem-se -L \le s, ou seja L \ge -s.
Portanto -s é o maior entre todos os limites inferiores de A, o que é justamente a definição de \inf A. Concluímos
\inf A = -\,s = -\,\sup(-A).

Resposta

-A é limitado superiormente e \displaystyle \inf A = -\,\sup(-A).

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