Dados A, B \subset \mathbb{R} não-vazios e limitados, seja A+B=\{x+y \mid x \in A, y \in B\}. Prove:
(a) A+B é limitado;
(b) \sup (A+B)=\sup A+\sup B;
(c) \inf (A+B)=\inf A+\inf B;

Passo 1

O enunciado entrega dois subconjuntos não vazios e limitados de \mathbb{R}, chamados A e B, e define
A+B \;=\;\{\,x+y\mid x\in A,\;y\in B\}.
Precisamos provar três coisas usando apenas as definições de conjunto limitado, de supremo e de ínfimo, mais as propriedades usuais de desigualdades em \mathbb{R}.

Passo 2

Para mostrar que A+B é limitado, seja M=\sup A e m=\inf A, e seja M'=\sup B e m'=\inf B. Como x\le M para todo x\in A e y\le M' para todo y\in B, segue que
x+y \;\le\; M+M',
logo M+M' é uma cota superior de A+B. De modo análogo, x\ge m e y\ge m' implicam
x+y \;\ge\; m + m',
de modo que m+m' é cota inferior de A+B. Concluímos que A+B é limitado.

Passo 3

Vamos provar que
\sup(A+B)\;=\;\sup A + \sup B \;=\; M + M'.
Primeiro, já vimos que M+M' é cota superior de A+B. Agora, dado qualquer \varepsilon>0, pela definição de supremo existem
x\in A\quad\text{com}\quad x > M-\tfrac{\varepsilon}{2}, \quad y\in B\quad\text{com}\quad y > M'-\tfrac{\varepsilon}{2}.
Então
x+y \;>\; (M-\tfrac{\varepsilon}{2}) + (M'-\tfrac{\varepsilon}{2}) \;=\; M+M' - \varepsilon,
o que mostra que não há cota superior menor que M+M'. Portanto \sup(A+B)=M+M'.

Passo 4

De forma completamente análoga, definindo m=\inf A e m'=\inf B, já sabemos que m+m' é cota inferior de A+B. Dado \varepsilon>0, existem
x\in A\quad\text{com}\quad x < m+\tfrac{\varepsilon}{2}, \quad y\in B\quad\text{com}\quad y < m'+\tfrac{\varepsilon}{2}.
Logo
x+y < (m+\tfrac{\varepsilon}{2}) + (m'+\tfrac{\varepsilon}{2}) = m+m' + \varepsilon,
o que impede qualquer cota inferior maior que m+m'. Assim \inf(A+B)=m+m'.

Resposta

(a) A+B é limitado porque m+m'\le x+y\le M+M' para todo x\in A, y\in B.
(b) \sup(A+B)=\sup A + \sup B.
(c) \inf(A+B)=\inf A + \inf B.

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