Dados os complexos z1=r1(cos (theta1)+i sen(theta1)) e z2=r2(cos (theta2)+i sen(theta2)) obtenha a seguinte expressão
r=raizr1^2+r2^2+2 r1 r2 cos (theta1-theta2)
para o módulo da soma z=z1+z2.

Passo 1

O enunciado pede o módulo da soma de dois números complexos dados em forma polar, aplicando a fórmula de módulo de uma soma. Vamos usar propriedades de trigonometria e a definição de módulo de número complexo.

Passo 2

Escrevemos a soma em forma retangular: z = z₁ + z₂. Como z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sen(θ₁)) e z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sen(θ₂)), temos as partes real e imaginária:
Real(z) = r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)
Im(z) = r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)

Passo 3

O módulo é dado por |z| = √{[Real(z)]² + [Im(z)]²}. Calculamos:
|z|² = [r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)]² + [r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)]² = r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂[cos(θ₁)cos(θ₂) + sen(θ₁)sen(θ₂)]

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica cos(θ₁ - θ₂) = cos(θ₁)cos(θ₂) + sen(θ₁)sen(θ₂), obtemos |z|² = r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂ cos(θ₁ - θ₂). Portanto, |z| = √{r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂ cos(θ₁ - θ₂)}.

Resposta

r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2,r_{1},r_{2},\cos\bigl(\theta_{1} - \theta_{2}\bigr)}

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