Dados os complexos
e
obtenha a seguinte expressão
para o módulo da soma
.
Passo 1
O enunciado pede o módulo da soma de dois números complexos dados em forma polar, aplicando a fórmula de módulo de uma soma. Vamos usar propriedades de trigonometria e a definição de módulo de número complexo.
Passo 2
Escrevemos a soma em forma retangular: z = z₁ + z₂. Como z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sen(θ₁)) e z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sen(θ₂)), temos as partes real e imaginária:
Real(z) = r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)
Im(z) = r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)
Real(z) = r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)
Im(z) = r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)
Passo 3
O módulo é dado por |z| = √{[Real(z)]² + [Im(z)]²}. Calculamos:
|z|² = [r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)]² + [r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)]² = r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂[cos(θ₁)cos(θ₂) + sen(θ₁)sen(θ₂)]
|z|² = [r₁ cos(θ₁) + r₂ cos(θ₂)]² + [r₁ sen(θ₁) + r₂ sen(θ₂)]² = r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂[cos(θ₁)cos(θ₂) + sen(θ₁)sen(θ₂)]
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica cos(θ₁ - θ₂) = cos(θ₁)cos(θ₂) + sen(θ₁)sen(θ₂), obtemos |z|² = r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂ cos(θ₁ - θ₂). Portanto, |z| = √{r₁² + r₂² + 2 r₁ r₂ cos(θ₁ - θ₂)}.
Resposta
r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2,r_{1},r_{2},\cos\bigl(\theta_{1} - \theta_{2}\bigr)}