Encontre a equação diferencial satisfeita por
dada a função
.
Passo 1
Resumo: A questão pede para encontrarmos uma equação diferencial em função de s para Y(s)=ℒ{y(t)} quando a entrada f(t) é uma função em degraus. Vamos usar o teorema de transformação de Laplace para funções em trechos e depois eliminar os expoentes em –s diferenciando em relação a s.
Passo 2
Primeiro, escrevemos f(t) em termos de funções de Heaviside. Observando os intervalos,
f(t)=1·u(t)−1·u(t−1)−1·u(t−2)−1·u(t−3)+0·u(t−4).
Mas como os três termos de −1 de t=1 a t=4 produzem um único degrau de altura −2 em t=1 e voltam a 0 em t=4, simplificamos para
f(t)=u(t)−2u(t−1)+u(t−4).
f(t)=1·u(t)−1·u(t−1)−1·u(t−2)−1·u(t−3)+0·u(t−4).
Mas como os três termos de −1 de t=1 a t=4 produzem um único degrau de altura −2 em t=1 e voltam a 0 em t=4, simplificamos para
f(t)=u(t)−2u(t−1)+u(t−4).
Passo 3
Calculamos então F(s)=ℒ{f(t)} usando o teorema de deslocamento:
Passo 4
Multiplicamos por s para facilitar a eliminação dos expoentes:
Passo 5
Agora derivamos ambos os lados em relação a s (lembrando que d/ds[e^{-as}]=−a e^{-as}):
Passo 6
Temos o sistema em E₁=e^{-s} e E₄=e^{-4s}:
Passo 7
Isolamos E₄ da primeira equação e então derivamos essa expressão para relacionar E₄ com F, F’ e F’’. A conta leva a:
Resposta
A equação diferencial satisfeita por Y(s) é: