Encontre a equação diferencial satisfeita por Y(s)=Ly(t) dada a função f(t)= 1, & 0 <= t<1, (equação de Airy) -1, & 1 <= t<2, -1, & 2 <= t<3, -1, & 3 <= t<4, -0, & t >= 4 çã.

Passo 1

Resumo: A questão pede para encontrarmos uma equação diferencial em função de s para Y(s)=ℒ{y(t)} quando a entrada f(t) é uma função em degraus. Vamos usar o teorema de transformação de Laplace para funções em trechos e depois eliminar os expoentes em –s diferenciando em relação a s.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(t) em termos de funções de Heaviside. Observando os intervalos,
f(t)=1·u(t)−1·u(t−1)−1·u(t−2)−1·u(t−3)+0·u(t−4).
Mas como os três termos de −1 de t=1 a t=4 produzem um único degrau de altura −2 em t=1 e voltam a 0 em t=4, simplificamos para
f(t)=u(t)−2u(t−1)+u(t−4).

Passo 3

Calculamos então F(s)=ℒ{f(t)} usando o teorema de deslocamento:
F(s)=1s-2e^-ss+e^-4ss

Passo 4

Multiplicamos por s para facilitar a eliminação dos expoentes:
sF(s)=1-2e^-s+e^-4s

Passo 5

Agora derivamos ambos os lados em relação a s (lembrando que d/ds[e^{-as}]=−a e^{-as}):
F(s)+sF'(s)=2e^-s-4e^-4s

Passo 6

Temos o sistema em E₁=e^{-s} e E₄=e^{-4s}:
sF=1-2E₁+E₄,F+sF'=2E₁-4E₄

Passo 7

Isolamos E₄ da primeira equação e então derivamos essa expressão para relacionar E₄ com F, F’ e F’’. A conta leva a:
sF''+(5s+2)F'+(4s+5)F-4=0

Resposta

A equação diferencial satisfeita por Y(s) é:
sY''(s)+(5s+2)Y'(s)+(4s+5)Y(s)=4

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