Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados: resp.:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 2º ordem
y’’ + y = e^t + t^3
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=0 usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea (complementar) e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
Isso dá raízes , então a solução complementar é
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular , onde cada parte atende a um termo da não homogeneidade:
Para o termo , tentamos . Substituindo em :
queremos isso igual a , logo e .
Para o termo polinomial , tentamos . Calculando
Igualando a , obtemos o sistema:
Daí a=1, b=0, c=-6, d=0, logo
yp2(t) = t^3 - 6t
Combinação das partes não homogêneas:
yp(t) = tfrac12 e^t + t^3 - 6t
Passo 4
A solução geral fica então
y(t) = A cos(t) + B sin(t) + tfrac12 e^t + t^3 - 6t
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = A + 0 + tfrac12 + 0 = 2 Rightarrow A = tfrac32
Para a derivada:
y'(t) = -A sin(t) + B cos(t) + tfrac12 e^t + 3t^2 - 6,
em t=0:
y'(0) = 0 + B + tfrac12 + 0 - 6 = 0 Rightarrow B = tfrac112