Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+y=e^t+t^3 ; y(0)=2 ; y^prime(0)=0 resp.: y=32 cos (t)+112 sen(t)+12 e^t+t^3-6 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 2º ordem
y’’ + y = e^t + t^3
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=0 usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea (complementar) e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
r^2 + 1 = 0
Isso dá raízes r=pm i, então a solução complementar é
yh(t) = A cos(t) + B sin(t)

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular yp = yp1 + yp2, onde cada parte atende a um termo da não homogeneidade:
  1. Para o termo e^t, tentamos yp1=C e^t. Substituindo em y''+y:
yp1'' + yp1 = C e^t + C e^t = 2C e^t
queremos isso igual a e^t, logo 2C=1 e C=tfrac12.
  1. Para o termo polinomial t^3, tentamos yp2=a t^3 + b t^2 + c t + d. Calculando
yp2'' + yp2 = (6a t + 2b) + (a t^3 + b t^2 + c t + d) = a t^3 + b t^2 + (c+6a)t + (d+2b)
Igualando a t^3, obtemos o sistema:
a=1, b=0, c+6a=0, d+2b=0
Daí a=1, b=0, c=-6, d=0, logo
yp2(t) = t^3 - 6t
Combinação das partes não homogêneas:
yp(t) = tfrac12 e^t + t^3 - 6t

Passo 4

A solução geral fica então
y(t) = A cos(t) + B sin(t) + tfrac12 e^t + t^3 - 6t
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = A + 0 + tfrac12 + 0 = 2 Rightarrow A = tfrac32
Para a derivada:
y'(t) = -A sin(t) + B cos(t) + tfrac12 e^t + 3t^2 - 6,
em t=0:
y'(0) = 0 + B + tfrac12 + 0 - 6 = 0 Rightarrow B = tfrac112

Resposta

y(t) = tfrac32cos(t) + tfrac112sin(t) + tfrac12e^t + t^3 - 6t

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