Dados os conjuntos
\begin{aligned} & A=\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\} \\\ & B=\{x \in \mathbb{R} \mid-2 \leqslant x \leqslant 2\} \\\ & C=\{x \in \mathbb{R} \mid-4<x \leqslant 1\} \end{aligned}
represente graficamente os seguintes produtos:
a) A \times B

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 3\},\qquad B=\{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\le 2\},\qquad C=\{x\in\mathbb{R}\mid -4<x\le 1\}
e pede a representação gráfica de A\times B. Portanto, a pergunta específica aqui é: desenhar no plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x\in A e y\in B.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A é o intervalo fechado [1,3] (ou seja, inclui os extremos 1 e 3).
  • B é o intervalo fechado [-2,2] (inclui os extremos -2 e 2).
  • O produto cartesiano que devemos representar é A\times B.

Passo 2

O que significa graficamente o produto cartesiano A\times B?
  • Definição: A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\in A\\ \text{e}\\ y\in B\}.
  • Interpretação geométrica: quando A e B são intervalos da reta, o produto A\times B é um retângulo no plano cartesiano cujas projeções nos eixos são exatamente A (projeção no eixo x) e B (projeção no eixo y).
  • Observação importante sobre extremos: como A e B são intervalos fechados, o retângulo terá fronteiras incluídas (bordas sólidas, não círculos abertos).

Passo 3

Encontrar as posições das retas que limitam o retângulo:
  • As abscissas (valores em x) que limitam o conjunto são x=1 e x=3.
  • As ordenadas (valores em y) que limitam o conjunto são y=-2 e y=2.
  • Os vértices do retângulo são, então, os pontos
(1,-2),\quad (1,2),\quad (3,-2),\quad (3,2).

Passo 4

Como desenhar passo a passo no exame (orientação prática, para fazer rápido e certo):
  1. Desenhe um sistema de eixos x- y.
  2. Marque no eixo x os pontos 1 e 3; marque no eixo y os pontos -2 e 2. (Se quiser um esboço proporcional, marque também o 0 e valores intermediários como 2 no eixo x e -1,0,1 no eixo y.)
  3. Trace as retas verticais x=1 e x=3 (duas linhas verticais paralelas).
  4. Trace as retas horizontais y=-2 e y=2 (duas linhas horizontais paralelas).
  5. O retângulo formado pela interseção dessas quatro retas é A\times B. Como os intervalos são fechados, desenhe as bordas sólidas e, se for conveniente, sombreie (ou pinte levemente) o interior para indicar todos os pontos incluídos.
  6. Identifique ou marque os vértices com coordenadas (1,-2), (1,2), (3,-2), (3,2).
Dica de prova: se faltar tempo, desenhe apenas as linhas x=1, x=3, y=-2, y=2, escreva ao lado “região entre essas linhas, bordas incluídas” — isso vale como resposta correta.

Passo 5

Descrever o conjunto de forma matemática (útil para escrever a resposta no caderno):
A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x\le 3,\\\ -2\le y\le 2\}.
Em palavras: é o retângulo fechado no plano com vértices (1,-2), (1,2), (3,-2) e (3,2).

Resposta

A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x\le 3,\\\ -2\le y\le 2\}.
Retângulo fechado com vértices (1,-2),\\ (1,2),\\ (3,-2),\\ (3,2).

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