Questão 7. Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for verdadeira, prove-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo.
Se
, então
é um conjunto infinito.
Se
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F):
A afirmação é: “Se
, então
é um conjunto infinito.”
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou implicitamente):
- Aparece
, que é o conjunto dos pontos de acumulação (pontos-limite, pontos derivados) de . - Não é especificado em que espaço
está (pode ser apenas um conjunto com alguma topologia, ou um subconjunto de um espaço métrico, ou de , etc.). - A tarefa: decidir se a implicação é verdadeira em geral; se for falsa, apresentar um contra-exemplo; se for verdadeira, provar.
Passo 2
Definição (essencial para entender a afirmação). Vou explicar claramente o que significa
.
Dizemos que um ponto
é um ponto de acumulação (ou ponto-limite) de
se, em termos topológicos, toda vizinhança aberta de
contém algum ponto de
diferente de
. Em símbolos:
Explicando as palavras da definição:
- "Vizinhança aberta de
" significa um conjunto aberto que contém . - A condição diz que não existe alguma vizinhança aberta de
que evite todos os outros pontos de ; sempre aparece algum ponto de diferente de dentro de qualquer vizinhança.
Observação rápida (intuição): em espaços métricos (como
com a distância usual), isso equivale a: para todo
, a bola aberta
contém algum
com
.
Passo 3
Apresento um contra-exemplo simples que mostra que a afirmação é FALSA em geral (isto é, sem hipóteses adicionais sobre o espaço onde
vive).
Considere o conjunto finito
e equipe
com a topologia indiscreta (também chamada topologia trivial), isto é, os conjuntos abertos são apenas
e
próprio:
Agora verifico os pontos de acumulação de
nessa topologia.
- Tome
(ou seja, ou ). Quais são as vizinhanças abertas de ? Na topologia indiscreta, a única vizinhança aberta que contém é (além da vizinhança vazia que não interessa). Logo, toda vizinhança aberta de é . - Então
, que é não vazio porque contém o outro ponto. Portanto a condição da definição de ponto de acumulação é satisfeita para .
Concluímos que cada ponto de
é ponto de acumulação, isto é,
Logo
e, ao mesmo tempo,
é finito. Isto dá um contra-exemplo à afirmação proposta. Portanto, a afirmação é FALSA em geral.
Passo 4
Para não deixar dúvida: explico também quando a afirmação passa a ser VERDADEIRA — isto é útil para a prova em exames onde costuma-se trabalhar em espaços métricos como
.
Proposição: Se
é um subconjunto de um espaço métrico e
, então
é infinito.
Prova (simples e construtiva): suponha que
está num espaço métrico
e que
fosse finito. Seja
. Para cada
introduza
Como o mínimo sobre um conjunto finito de distâncias positivas é positivo, cada
. A bola aberta
contém
e nenhum outro ponto de
(pela escolha de
). Logo existe uma vizinhança de
que não contém pontos de
diferentes de
; portanto
. Isso vale para todo
, então
. Contradição com
. Assim
não pode ser finito, ou seja,
é infinito.
Comentário intuitivo: em espaços métricos pontos distintos têm alguma distância positiva entre si, e com isso é possível “isolar” cada ponto se houver apenas finitos deles; por isso pontos-limite só aparecem quando há infinitos pontos se aproximando.
Passo 5
Resumo didático e moral:
- Em topologia geral a afirmação é falsa: existem topologias (por exemplo a topologia indiscreta) onde conjuntos finitos podem ter pontos de acumulação. Apresentei o contra-exemplo
com topologia , onde embora seja finito. - Em espaços métricos (e, em particular, em
com a topologia usual) a afirmação é verdadeira; dei a prova baseada na separação por bolas de raio metade da menor distância entre pontos.
Resposta
F