Questão 7. Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for verdadeira, prove-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo.
Se X^{\prime} \neq \emptyset, então X é um conjunto infinito.

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F):
A afirmação é: “Se X'\neq\emptyset, então X é um conjunto infinito.”
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou implicitamente):
  • Aparece X', que é o conjunto dos pontos de acumulação (pontos-limite, pontos derivados) de X.
  • Não é especificado em que espaço X está (pode ser apenas um conjunto com alguma topologia, ou um subconjunto de um espaço métrico, ou de \mathbb{R}, etc.).
  • A tarefa: decidir se a implicação é verdadeira em geral; se for falsa, apresentar um contra-exemplo; se for verdadeira, provar.

Passo 2

Definição (essencial para entender a afirmação). Vou explicar claramente o que significa X'.
Dizemos que um ponto p é um ponto de acumulação (ou ponto-limite) de X se, em termos topológicos, toda vizinhança aberta de p contém algum ponto de X diferente de p. Em símbolos:
p\in X' \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para toda vizinhança aberta }U\text{ de }p,\; (U\setminus\{p\})\cap X \neq \emptyset.ç
Explicando as palavras da definição:
  • "Vizinhança aberta de p" significa um conjunto aberto U que contém p.
  • A condição diz que não existe alguma vizinhança aberta de p que evite todos os outros pontos de X; sempre aparece algum ponto de X diferente de p dentro de qualquer vizinhança.
Observação rápida (intuição): em espaços métricos (como \mathbb{R} com a distância usual), isso equivale a: para todo \varepsilon>0, a bola aberta B(p,\varepsilon) contém algum x\in X com x\neq p.

Passo 3

Apresento um contra-exemplo simples que mostra que a afirmação é FALSA em geral (isto é, sem hipóteses adicionais sobre o espaço onde X vive).
Considere o conjunto finito X=\{a,b\} e equipe X com a topologia indiscreta (também chamada topologia trivial), isto é, os conjuntos abertos são apenas \varnothing e X próprio:
\tau=\{\varnothing,\; X\}.
Agora verifico os pontos de acumulação de X nessa topologia.
  • Tome p\in X (ou seja, p=a ou p=b). Quais são as vizinhanças abertas de p? Na topologia indiscreta, a única vizinhança aberta que contém p é X (além da vizinhança vazia que não interessa). Logo, toda vizinhança aberta U de p é U=X.
  • Então (U\setminus\{p\})\cap X = (X\setminus\{p\})\cap X = X\setminus\{p\}, que é não vazio porque contém o outro ponto. Portanto a condição da definição de ponto de acumulação é satisfeita para p.
Concluímos que cada ponto de X é ponto de acumulação, isto é,
X' = X = \{a,b\}.
Logo X'\neq\varnothing e, ao mesmo tempo, X é finito. Isto dá um contra-exemplo à afirmação proposta. Portanto, a afirmação é FALSA em geral.

Passo 4

Para não deixar dúvida: explico também quando a afirmação passa a ser VERDADEIRA — isto é útil para a prova em exames onde costuma-se trabalhar em espaços métricos como \mathbb{R}.
Proposição: Se X é um subconjunto de um espaço métrico e X'\neq\varnothing, então X é infinito.
Prova (simples e construtiva): suponha que X está num espaço métrico (M,d) e que X fosse finito. Seja X=\{x_1,\dots,x_n\}. Para cada i introduza
r_i=\frac{1}{2}\min_{j\neq i} d(x_i,x_j).
Como o mínimo sobre um conjunto finito de distâncias positivas é positivo, cada r_i>0. A bola aberta B(x_i,r_i) contém x_i e nenhum outro ponto de X (pela escolha de r_i). Logo existe uma vizinhança de x_i que não contém pontos de X diferentes de x_i; portanto x_i\notin X'. Isso vale para todo i, então X'=\varnothing. Contradição com X'\neq\varnothing. Assim X não pode ser finito, ou seja, X é infinito.
Comentário intuitivo: em espaços métricos pontos distintos têm alguma distância positiva entre si, e com isso é possível “isolar” cada ponto se houver apenas finitos deles; por isso pontos-limite só aparecem quando há infinitos pontos se aproximando.

Passo 5

Resumo didático e moral:
  • Em topologia geral a afirmação é falsa: existem topologias (por exemplo a topologia indiscreta) onde conjuntos finitos podem ter pontos de acumulação. Apresentei o contra-exemplo X=\{a,b\} com topologia \{\varnothing,X\}, onde X'=X\neq\varnothing embora X seja finito.
  • Em espaços métricos (e, em particular, em \mathbb{R} com a topologia usual) a afirmação é verdadeira; dei a prova baseada na separação por bolas de raio metade da menor distância entre pontos.

Resposta

F

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