Questão 6. Mostre que, se
são conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado, então existem
e
tais que
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte.
Dados:
-
e são conjuntos disjuntos e não-vazios. -
é compacto. -
é fechado.
O que se pede:
- Mostrar que existem
e tais que
Informações relevantes extraídas do enunciado que serão úteis mais tarde (sem resolver nada ainda):
- A hipótese de compacidade de
permitirá garantir que alguma função contínua definida em atinge mínimo. - A hipótese de que
é fechado será usada para garantir que limites de sequências em ficam em . - Os conjuntos são disjuntos, ou seja
, o que fará com que a distância entre eles não seja zero (isso precisa ser provado).
Passo 2
Definir a função distância de um ponto de
ao conjunto
.
Definição: para cada
defina
Explicação do que é cada coisa:
-
é um número real (possivelmente ou positivo) que mede a menor distância do ponto até qualquer ponto de . - A operação
significa ínfimo (menor limite inferior) sobre todos os valores com .
Objetivo intermediário aqui: mostrar que
é contínua em
e, por compacidade de
, atinge seu mínimo em algum ponto
. Esse
será candidato para a primeira coordenada buscada.
Passo 3
Mostrar que
é contínua (na verdade é Lipschitz de constante
).
Proposição: para quaisquer
vale
Demonstração: para qualquer
temos pela desigualdade triangular
Tomando o ínfimo sobre
no membro direito obtém-se
Trocando
e
na mesma desigualdade obtemos
Subtraindo dá exatamente
Como consequência,
é contínua em
. (Comentário didático: isso mostra que pequenas variações em
mudam
no máximo na mesma ordem — é uma propriedade de estabilidade muito prática.)
Passo 4
Aplicar compacidade de
para garantir que
atinge mínimo.
Como
é compacto e
é contínua em
, o Teorema do Valor Extremo garante que
atinge seu mínimo em algum ponto
. Ou seja, existe
tal que
Defina
. Note que
por definição de distância. A próxima tarefa é mostrar que
(não é zero) e depois encontrar
tal que
.
Passo 5
Provar que
(uso do fato
).
Suponha, por contradição, que
. Então
. Como
é contínua e
para todo
, existe uma sequência
(por exemplo, pode-se tomar uma sequência que aproxima o ínfimo) com
. Pela compacidade de
existe uma subsequência que converge:
. Pela continuidade de
temos
. Agora, por definição de
, existe uma sequência
tal que
. Isso mostra que
. Como
é fechado, o limite
pertence a
. Portanto
, contradizendo a hipótese de que
e
são disjuntos. Logo a suposição
é falsa e devemos ter
(Intuição: se a distância mínima fosse zero, algum ponto de
estaria arbitrariamente próximo de
e, por fechamento de
, acabaria dentro de
.)
Passo 6
Construir
tal que a distância
é realmente atingida entre
e
.
Pelo fato de
ser o ínfimo de
sobre
, existe uma sequência
com
Mostrar que
é uma sequência limitada: para todo
,
para
suficientemente grande (ou simplesmente observe que
tende a
, logo todos os termos a partir de certo índice ficam em um intervalo
, portanto limitados). Assim
é limitada. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass em
(ou no espaço ambiente), existe uma subsequência convergente
para algum
. Como
é fechado, o limite
pertence a
.
Agora usar continuidade da função
para passar o limite:
Portanto o mínimo
é realmente atingido entre
e
.
Passo 7
Concluir que
tem a propriedade desejada.
Pelo modo como
foi definido,
A última igualdade segue porque
foi escolhido como o mínimo de
em
, isto é
Como
, isso significa que
é a distância mínima entre os dois conjuntos. Assim, para quaisquer
e
temos
Isto é exatamente o que se queria provar.
Resposta
Existem
e
tais que