Questão 6. Mostre que, se X, Y são conjuntos disjuntos e não-vazios, com X compacto e Y fechado, então existem x_{0} \in X e y_{0} \in Y tais que
\left|x_{0}-y_{0}\right| \leq|x-y|, \quad \forall x \in X, y \in Y

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte.
Dados:
  • X e Y são conjuntos disjuntos e não-vazios.
  • X é compacto.
  • Y é fechado.
O que se pede:
  • Mostrar que existem x_{0}\in X e y_{0}\in Y tais que
\left|x_{0}-y_{0}\right| \leq |x-y|,\qquad \forall x\in X,\;y\in Y.
Informações relevantes extraídas do enunciado que serão úteis mais tarde (sem resolver nada ainda):
  • A hipótese de compacidade de X permitirá garantir que alguma função contínua definida em X atinge mínimo.
  • A hipótese de que Y é fechado será usada para garantir que limites de sequências em Y ficam em Y.
  • Os conjuntos são disjuntos, ou seja X\cap Y=\varnothing, o que fará com que a distância entre eles não seja zero (isso precisa ser provado).

Passo 2

Definir a função distância de um ponto de X ao conjunto Y.
Definição: para cada x\in X defina
g(x)=\inf_{y\in Y} |x-y|.
Explicação do que é cada coisa:
  • g(x) é um número real (possivelmente 0 ou positivo) que mede a menor distância do ponto x até qualquer ponto de Y.
  • A operação \inf significa ínfimo (menor limite inferior) sobre todos os valores |x-y| com y\in Y.
Objetivo intermediário aqui: mostrar que g é contínua em X e, por compacidade de X, atinge seu mínimo em algum ponto x_{0}\in X. Esse x_{0} será candidato para a primeira coordenada buscada.

Passo 3

Mostrar que g é contínua (na verdade é Lipschitz de constante 1).
Proposição: para quaisquer x,x'\in X vale
|g(x)-g(x')| \le |x-x'|.
Demonstração: para qualquer y\in Y temos pela desigualdade triangular
|x-y| \le |x-x'| + |x'-y|.
Tomando o ínfimo sobre y\in Y no membro direito obtém-se
g(x)=\inf_{y\in Y}|x-y| \le |x-x'| + \inf_{y\in Y}|x'-y| = |x-x'| + g(x').
Trocando x e x' na mesma desigualdade obtemos
g(x') \le |x-x'| + g(x).
Subtraindo dá exatamente
|g(x)-g(x')| \le |x-x'|.
Como consequência, g é contínua em X. (Comentário didático: isso mostra que pequenas variações em x mudam g(x) no máximo na mesma ordem — é uma propriedade de estabilidade muito prática.)

Passo 4

Aplicar compacidade de X para garantir que g atinge mínimo.
Como X é compacto e g é contínua em X, o Teorema do Valor Extremo garante que g atinge seu mínimo em algum ponto x_{0}\in X. Ou seja, existe x_{0}\in X tal que
g(x_{0}) = \min_{x\in X} g(x).
Defina m:=g(x_{0}). Note que m\ge 0 por definição de distância. A próxima tarefa é mostrar que m>0 (não é zero) e depois encontrar y_{0}\in Y tal que |x_{0}-y_{0}|=m.

Passo 5

Provar que m>0 (uso do fato X\cap Y=\varnothing).
Suponha, por contradição, que m=0. Então g(x_{0})=0. Como g é contínua e g(x)\ge 0 para todo x, existe uma sequência (x_{n})\subset X (por exemplo, pode-se tomar uma sequência que aproxima o ínfimo) com g(x_{n})\to 0. Pela compacidade de X existe uma subsequência que converge: x_{n_k}\to x^{*}\in X. Pela continuidade de g temos g(x^{*})=\lim g(x_{n_k})=0. Agora, por definição de g(x^{*})=0, existe uma sequência (y_{j})\subset Y tal que |x^{*}-y_{j}|\to 0. Isso mostra que y_{j}\to x^{*}. Como Y é fechado, o limite x^{*} pertence a Y. Portanto x^{*}\in X\cap Y, contradizendo a hipótese de que X e Y são disjuntos. Logo a suposição m=0 é falsa e devemos ter
m>0.
(Intuição: se a distância mínima fosse zero, algum ponto de X estaria arbitrariamente próximo de Y e, por fechamento de Y, acabaria dentro de Y.)

Passo 6

Construir y_{0}\in Y tal que a distância m é realmente atingida entre x_{0} e y_{0}.
Pelo fato de g(x_{0}) ser o ínfimo de |x_{0}-y| sobre y\in Y, existe uma sequência (y_{n})\subset Y com
|x_{0}-y_{n}| \to m.
Mostrar que (y_{n}) é uma sequência limitada: para todo n,
|y_{n}| \le |y_{n}-x_{0}| + |x_{0}| \le m + 1 + |x_{0}|
para n suficientemente grande (ou simplesmente observe que |y_{n}-x_{0}| tende a m, logo todos os termos a partir de certo índice ficam em um intervalo [m-1,m+1], portanto limitados). Assim (y_{n}) é limitada. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass em \mathbb{R} (ou no espaço ambiente), existe uma subsequência convergente y_{n_k}\to y_{0} para algum y_{0}\in\mathbb{R}. Como Y é fechado, o limite y_{0} pertence a Y.
Agora usar continuidade da função |x_{0}-\cdot| para passar o limite:
|x_{0}-y_{0}| = \lim_{k\to\infty} |x_{0}-y_{n_k}| = m.
Portanto o mínimo m é realmente atingido entre x_{0} e y_{0}.

Passo 7

Concluir que (x_{0},y_{0}) tem a propriedade desejada.
Pelo modo como m foi definido,
m = g(x_{0}) = \inf_{y\in Y} |x_{0}-y| = \inf_{x\in X,\,y\in Y} |x-y|.
A última igualdade segue porque m foi escolhido como o mínimo de g em X, isto é
m=\min_{x\in X} \inf_{y\in Y} |x-y| = \inf_{x\in X,\,y\in Y} |x-y|.
Como |x_{0}-y_{0}|=m, isso significa que |x_{0}-y_{0}| é a distância mínima entre os dois conjuntos. Assim, para quaisquer x\in X e y\in Y temos
|x_{0}-y_{0}| \le |x-y|.
Isto é exatamente o que se queria provar.

Resposta

Existem x_{0}\in X e y_{0}\in Y tais que
\left|x_{0}-y_{0}\right| \leq |x-y|,\qquad \forall x\in X,\;y\in Y.

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