DADOS No desenvolvimento de um equipamento de visão noturna, você precisa medir a função trabalho para a superfície de um metal, de modo que realiza uma experiência de efeito fotoelétrico. Você mede o potencial de corte
em função do comprimento de onda
da luz que incide sobre a superfície. Os resultados aparecem na tabela a seguir.
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100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
7,53 | 5,59 | 3,98 | 2,92 | 2,06 | 1,43 |
Em sua análise, você usa
e
, que são valores obtidos em outras experiências. (a) Selecione uma forma de representar seus resultados graficamente de modo que os pontos de dados fiquem próximos de uma linha reta. Usando esse gráfico, encontre a inclinação e a interceptação
da linha reta que melhor se ajusta aos dados. (b) Use os resultados do item (a) para calcular a constante de Planck
(como um teste de seus dados) e a função trabalho (em eV) da superfície. © Qual é o comprimento de onda mais longo da luz que produzirá fotoelétrons a partir dessa superfície? (d) Que comprimento onda da luz é necessário para produzir fotoelétrons comp ene cinética de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com o potencial de corte $ V_0 $ em função do comprimento de onda $ \lambda $ da luz que incide em um metal, e quer analisar esses dados usando o efeito fotoelétrico. Vamos usar conceitos de física como a equação do efeito fotoelétrico e plotagem de gráficos para encontrar a constante de Planck $ h $ e a função trabalho do metal. Para isso, vamos precisar organizar os dados de forma que fiquem próximos de uma linha reta em um gráfico.
Passo 2
Primeiro, para fazer os pontos ficarem em uma linha reta, precisamos identificar a relação entre $ V_0 $ e $ \lambda $. Sabemos que a frequência $ \nu $ está relacionada com o comprimento de onda pela equação $ \nu = \frac{c}{\lambda} $, onde $ c $ é a velocidade da luz.
A equação do efeito fotoelétrico é:
Substituindo $ \nu $ por $ \frac{c}{\lambda} $, temos:
Isso mostra que $ V_0 $ é uma função linear de $ \frac{1}{\lambda} $. Portanto, se plotarmos $ V_0 $ no eixo y e $ \frac{1}{\lambda} $ no eixo x, devemos obter uma linha reta.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{1}{\lambda} $ para cada valor de $ \lambda $ na tabela:
$ \lambda $ (nm) | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
---|---|---|---|---|---|---|
$ V_0 $ (V) | 7,53 | 5,59 | 3,98 | 2,92 | 2,06 | 1,43 |
$ \frac{1}{\lambda} $ (1/nm) | 0,01 | 0,00833 | 0,00714 | 0,00625 | 0,00556 | 0,005 |
Agora, com esses valores, podemos plotar $ V_0 $ em função de $ \frac{1}{\lambda} $.
Passo 4
Após plotar os pontos no gráfico $ V_0 $ vs. $ \frac{1}{\lambda} $, ajustamos uma linha reta que melhor se encaixa nos dados. A equação dessa linha será:
Onde $ m $ é a inclinação e $ b $ é a interceptação no eixo y.
Usando métodos de regressão linear, encontramos que a inclinação $ m $ é aproximadamente $ 2,98 $ V·nm e a interceptação $ b $ é $ 0,5 $ V.
Passo 5
No item (b), queremos calcular a constante de Planck $ h $ e a função trabalho $ \Phi $. Usando a equação que relaciona $ V_0 $ e $ \frac{1}{\lambda} $:
Comparando com a equação da reta:
Então:
Sabendo que $ e = 1,602 \times 10^{-19} $ C e $ c = 2,998 \times 10^8 $ m/s:
Convertendo para $ eV·s $ (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):
Para a função trabalho:
Convertendo para eV:
Passo 6
No item ©, queremos encontrar o comprimento de onda mais longo que ainda produz fotoelétrons. Isso ocorre quando $ V_0 = 0 $. Usando a equação da reta:
Resolvendo para $ \lambda $:
Substituindo $ m = 2,98 $ V·nm e $ b = 0,5 $ V:
Como comprimento de onda não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Passo 7
No item (d), queremos determinar o comprimento de onda necessário para produzir fotoelétrons com energia cinética de $ 10,0 $ eV. Usamos a equação do efeito fotoelétrico:
Sabendo que a energia cinética $ K = eV_0 = 10,0 $ eV:
Resolvendo para $ \lambda $:
Substituindo os valores:
Convertendo para nm:
Esse valor é extremamente pequeno, indicando que para energias cinéticas tão altas, seria necessário um comprimento de onda muito curto, provavelmente na faixa de raios gama.
Resposta
Finalizando, calculamos:
a) Ao plotar $ V_0 $ vs. $ \frac{1}{\lambda} $, a inclinação da reta é aproximadamente $ 2,98 $ V·nm e a interceptação é $ 0,5 $ V.
b) A constante de Planck $ h $ é $ 3,31 \times 10^{-34} $ eV·s e a função trabalho da superfície é $ 5,00 $ eV.
c) O comprimento de onda mais longo que ainda produz fotoelétrons é $ 5,96 $ nm.
d) Para produzir fotoelétrons com energia cinética de $ 10,0 $ eV, o comprimento de onda necessário é aproximadamente $ 6,62 \times 10^{-18} $ nm.