Dados dois vetores: A = 2i + 3j + 4k e B = i - 2j + 3k, achar o produto escalar dos dois vetores.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem dois vetores aqui: A = 2i + 3j + 4k e B = i - 2j + 3k. A missão é encontrar o produto escalar desses dois vetores. Produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta em um número, e pra isso a gente precisa conhecer como as componentes dos vetores se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar. Se tivermos dois vetores A = a₁i + a₂j + a₃k e B = b₁i + b₂j + b₃k, o produto escalar é dado por:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ou seja, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos tudo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos nossos vetores:
  • Para A = 2i + 3j + 4k:
    • a₁ = 2
    • a₂ = 3
    • a₃ = 4
  • Para B = i - 2j + 3k:
    • b₁ = 1
    • b₂ = -2
    • b₃ = 3

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do produto escalar:
A cdot B = (2)(1) + (3)(-2) + (4)(3)

Passo 5

Vamos resolver cada multiplicação:
  • (2)(1) = 2
  • (3)(-2) = -6
  • (4)(3) = 12

Passo 6

Agora, somamos esses resultados:
2 + (-6) + 12 = 2 - 6 + 12

Passo 7

Fazendo as contas finais:
2 - 6 = -4 -4 + 12 = 8

Resposta

O produto escalar dos vetores A e B é 8.

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