Dados dois vetores não nulos A e B, mostre que se A+B é ortogonal a A-B então \|A\|=\|B\|.

Passo 1

Temos dois vetores não nulos A e B num espaço euclidiano e queremos mostrar que, sob a condição de ortogonalidade entre A+B e A-B, eles têm mesmo comprimento. Vamos usar a definição de produto interno (ou produto escalar) e suas propriedades de linearidade e simetria.

Passo 2

A hipótese de ortogonalidade diz que o produto interno entre A+B e A-B é zero, ou seja,
\langle A+B,\;A-B\rangle = 0.

Passo 3

Expandindo pela linearidade do produto interno, obtemos
\langle A+B,\;A-B\rangle = \langle A,A\rangle - \langle A,B\rangle + \langle B,A\rangle - \langle B,B\rangle.
Como o produto interno é simétrico, \langle A,B\rangle = \langle B,A\rangle, então
\langle A+B,\;A-B\rangle = \langle A,A\rangle - \langle B,B\rangle.

Passo 4

Pela definição de norma, \langle A,A\rangle = \|A\|^2 e \langle B,B\rangle = \|B\|^2. Assim a condição vira
\|A\|^2 - \|B\|^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \|A\|^2 = \|B\|^2.

Passo 5

Como normas são números não negativos, basta extrair raiz quadrada para concluir
\|A\| = \|B\|.

Resposta

\|A\| = \|B.

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