Dados dois vetores não nulos
e
, mostre que se
é ortogonal a
então
.
Passo 1
Temos dois vetores não nulos
e
num espaço euclidiano e queremos mostrar que, sob a condição de ortogonalidade entre
e
, eles têm mesmo comprimento. Vamos usar a definição de produto interno (ou produto escalar) e suas propriedades de linearidade e simetria.
Passo 2
A hipótese de ortogonalidade diz que o produto interno entre
e
é zero, ou seja,
Passo 3
Expandindo pela linearidade do produto interno, obtemos
Como o produto interno é simétrico,
, então
Passo 4
Pela definição de norma,
e
. Assim a condição vira
Passo 5
Como normas são números não negativos, basta extrair raiz quadrada para concluir