Dados dois vetores não nulos A e B, mostre que (A+B) \times(A-B)=2 B \times A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois vetores não nulos \mathbf{A} e \mathbf{B},
(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times(\mathbf{A}-\mathbf{B}) = 2\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}.
O conteúdo principal é o produto vetorial, usando as propriedades de bilinearidade, anticomutatividade e o fato de \mathbf{u}\times\mathbf{u}=0.

Passo 2

Aplicando a distributividade (bilinearidade) do produto vetorial, expandimos:
(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times(\mathbf{A}-\mathbf{B}) = \mathbf{A}\times\mathbf{A}\;-\;\mathbf{A}\times\mathbf{B} \;+\;\mathbf{B}\times\mathbf{A}\;-\;\mathbf{B}\times\mathbf{B}.

Passo 3

Usamos que \mathbf{A}\times\mathbf{A}=0 e \mathbf{B}\times\mathbf{B}=0, além da anticomutatividade \mathbf{B}\times\mathbf{A}=-\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}. Assim,
(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times(\mathbf{A}-\mathbf{B}) = -\,\mathbf{A}\times\mathbf{B} + \mathbf{B}\times\mathbf{A} = -\,\mathbf{A}\times\mathbf{B} - \mathbf{A}\times\mathbf{B} = -2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B} = 2\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}.

Resposta

(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times(\mathbf{A}-\mathbf{B}) = 2\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}.

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