Dados dois vetores \vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j} e \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}, determine o módulo, direção e sentido dos vetores:
\vec{b}

Passo 1

O enunciado pede o módulo, direção e sentido do vetor \vec{b} = \hat{i}-\hat{j}. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^2: usaremos a definição de módulo de um vetor e a relação entre sua inclinação e o eixo x positivo para determinar o ângulo.

Passo 2

O módulo de um vetor (x,y) é
\|\,(x,y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}.
No caso de \vec{b}=(1,-1), temos
\|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

A direção é o ângulo \theta entre o vetor e o eixo x positivo, dado por
\tan\theta = \frac{y}{x}.
Para \vec{b},
\tan\theta = \frac{-1}{1} = -1,
portanto
\theta = \arctan(-1) = -45^\circ
(mas, se quisermos um valor em [0,360^\circ), usamos \theta = 315^\circ).

Passo 4

O sentido de \vec{b} é do ponto inicial (0,0) ao ponto terminal (1,-1), ou seja, aponta para o quarto quadrante, deslocando-se para a direita e para baixo (direção sudeste).

Resposta

\|\vec{b}\| = \sqrt{2}
Direção: \theta = -45^\circ (ou 315^\circ)
Sentido: do (0,0) para (1,-1), quarto quadrante.

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