(Pré-relatório) Prove a Eq.
V=V_{0} e^{-t /(R C)},

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num circuito RC em descarga, a tensão no capacitor satisfaz
V(t)=V_{0}e^{-t/(RC)}.
O conteúdo envolve análise de circuito elétrico (lei de Kirchhoff) e solução de uma equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis.

Passo 2

Aplicamos a lei de tensões de Kirchhoff ao laço, somando a queda no resistor e no capacitor:
V_{R}(t)+V_{C}(t)=0.
Como V_{R}(t)=R\,i(t) e i(t) é a corrente de descarga, e para o capacitor vale
i(t)=C\,\frac{dV(t)}{dt},
temos
R\,C\,\frac{dV(t)}{dt}+V(t)=0.

Passo 3

Reescrevendo a equação diferencial em forma padrão:
\frac{dV}{dt}+\frac{1}{RC}\,V=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem, que podemos resolver por separação de variáveis:
\frac{dV}{V}=-\frac{dt}{RC}.

Passo 4

Integramos ambos os lados, de t=0 a t, e de V=V_{0} (condição inicial) a V=V(t):
\int_{V_{0}}^{V(t)}\frac{dV'}{V'}=-\int_{0}^{t}\frac{dt'}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \ln\biggl(\frac{V(t)}{V_{0}}\biggr)=-\frac{t}{RC}.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos a solução geral com a condição inicial já incorporada:
V(t)=V_{0}\,e^{-t/(RC)}.

Resposta

V=V_{0}e^{-t/(RC)}.

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