, calcule o valor desse vetor aplicado ao ponto , bem como sua projeção sobre , dado por: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um vetor e pede para calcular esse vetor no ponto . Além disso, precisamos achar a projeção desse vetor sobre o vetor . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como avaliar vetores em um ponto e como calcular a projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor no ponto . Isso significa substituir , e na expressão de .
Passo 3
Agora, vamos simplificar as contas:
Então, no ponto , o vetor é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a projeção de sobre . A fórmula para a projeção de um vetor sobre é:
Aqui, A = F(2, 2, 1) e B = 5x - y + 2z.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o produto escalar F cdot B:
F cdot B = (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) = 5 - 4 + 0 = 1
Passo 6
Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de B:
|B|^2 = 5^2 + (-1)^2 + 2^2 = 25 + 1 + 4 = 30
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projB F = ( 130 ) (5x - y + 2z)
Passo 8
Simplificando a expressão da projeção:
projB F = 530x - 130y + 230z = 16x - 130y + 115z
Resposta
O vetor F no ponto (2, 2, 1) é x + 4y e sua projeção sobre B é: