Dados F=(y-1) x+2 x y, calcule o valor desse vetor aplicado ao ponto (2,2,1), bem como sua projeção sobre B, dado por: B=5 x-y+2 hat z .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um vetor F = (y - 1)x + 2xy e pede para calcular esse vetor no ponto (2, 2, 1). Além disso, precisamos achar a projeção desse vetor sobre o vetor B = 5x - y + 2z. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como avaliar vetores em um ponto e como calcular a projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor F no ponto (2, 2, 1). Isso significa substituir x = 2, y = 2 e z = 1 na expressão de F.
F(2, 2, 1) = (2 - 1)x + 2 times 2 y

Passo 3

Agora, vamos simplificar as contas:
F(2, 2, 1) = 1x + 4y
Então, no ponto (2, 2, 1), o vetor F é:
F(2, 2, 1) = x + 4y

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a projeção de F sobre B. A fórmula para a projeção de um vetor A sobre B é:
projB A = ( A cdot B|B|^2 ) B
Aqui, A = F(2, 2, 1) e B = 5x - y + 2z.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto escalar F cdot B:
F cdot B = (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) = 5 - 4 + 0 = 1

Passo 6

Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de B:
|B|^2 = 5^2 + (-1)^2 + 2^2 = 25 + 1 + 4 = 30

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projB F = ( 130 ) (5x - y + 2z)

Passo 8

Simplificando a expressão da projeção:
projB F = 530x - 130y + 230z = 16x - 130y + 115z

Resposta

O vetor F no ponto (2, 2, 1) é x + 4y e sua projeção sobre B é:
projB F = 16x - 130y + 115z

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