Dados A=2 hat X +4 y e B=6 y-4 hat z , calcule o menor ângulo entre ambos, usando (a) o produto vetorial entre eles e (b) o produto escalar.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos dois vetores no espaço:
A = 2hat X + 4hat Y, B = 6hat Y - 4hat Z
E pede pra gente achar o menor ângulo entre eles de duas maneiras: (a) usando produto vetorial e (b) usando produto escalar.
Conteúdo: operações com vetores (módulo, produto escalar, produto vetorial) e trigonometria inversa (arcsin e arccos). Vamos precisar calcular componentes, módulos, produto escalar, vetor resultante do produto vetorial e depois usar as fórmulas
|AtimesB| = |A|,|B|sintheta, AcdotB = |A|,|B|costheta

Passo 2

Calcular os módulos de A e B:
|A| = raiz2^2 + 4^2 + 0^2 = raiz20 = 2raiz5,
|B| = raiz0^2 + 6^2 + (-4)^2 = raiz36+16 = raiz52 = 2raiz13

Passo 3

(a) Produto vetorial AtimesB = hat X & hat Y & hat Z 2 & 4 & 0 0 & 6 & -4 = l(-16,,8,,12r) .
|AtimesB| = raiz(-16)^2 + 8^2 + 12^2 = raiz256 + 64 + 144 = raiz464 = 4raiz29
O módulo desse vetor é
sintheta = |AtimesB||A|,|B| = 4raiz29(2raiz5)(2raiz13) = 4raiz294raiz65 = raiz2965 approx 0,668
Daí usamos theta = arcsin(0,668)approx 42,1^circ , logo
Então

Passo 4

(b) Produto escalar AcdotB = (2)(0) + (4)(6) + (0)(-4) = 24 .
costheta = 24(2raiz5)(2raiz13) = 244raiz65 = 6raiz65 approx 0,744
Usando theta = arccos(0,744)approx 42,1^circ , temos
Logo

Resposta

O menor ângulo entre e é aproximadamente , tanto pelo método do produto vetorial quanto pelo do produto escalar.

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