Os dados de fadiga para uma liga de latão são apresentados a seguir:
Stress Amplitude (MPa) Cycles to Failure
170 3.7 \times 10^{4}
148 1.0 \times 10^{5}
130 3.0 \times 10^{5}
114 1.0 \times 10^{6}
92 1.0 \times 10^{7}
80 1.0 \times 10^{8}
74 1.0 \times 10^{9}
(a) Construa um gráfico \mathbf{S}-\mathbf{N} (amplitude de tensão em função do logaritmo do número de ciclos até a falha) utilizando esses dados.
(b) Determine a resistência à fadiga para \mathbf{4} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{\mathbf{6}} ciclos.
(c) Determine a vida em fadiga para uma tensão de \mathbf{1 2 0 ~ M P a}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Construir o gráfico S–N: amplitude de tensão em função do logaritmo do número de ciclos até a falha, usando os dados fornecidos.
  • (b) Determinar a resistência à fadiga (amplitude de tensão) para 4\times10^{6} ciclos.
  • (c) Determinar a vida (número de ciclos até falha) para uma tensão de 120\\ \text{MPa}.
Os dados fornecidos (peguei-os diretamente da tabela do enunciado) são:
  • Amplitude de tensão S (MPa) e ciclos até falha N:
    • S=170, N=3{,}7\times10^{4}
    • S=148, N=1{,}0\times10^{5}
    • S=130, N=3{,}0\times10^{5}
    • S=114, N=1{,}0\times10^{6}
    • S=92, N=1{,}0\times10^{7}
    • S=80, N=1{,}0\times10^{8}
    • S=74, N=1{,}0\times10^{9}

Passo 2

Como montar o gráfico S–N pedido (explicação didática e preparação dos pontos).
  • Em um gráfico S–N usual, plota-se a amplitude S no eixo vertical e o logaritmo (base 10) do número de ciclos \log_{10}N no eixo horizontal. Isso transforma variações por décadas em distâncias lineares, deixando a curva mais fácil de visualizar e, frequentemente, aproximadamente linear por trechos.
  • Primeiro passo prático: calcular \log_{10}N para cada ponto (vou usar \log para \log_{10}). Calculei os logaritmos a partir dos N dados: \begin{aligned} \log N(3{,}7\times10^{4}) &= \log(3{,}7)+4 \approx 0{,}5682+4 = 4{,}5682,\\[4pt] \log N(1{,}0\times10^{5}) &= \log(1{,}0)+5 = 0+5 = 5{,}0000,\\[4pt] \log N(3{,}0\times10^{5}) &= \log(3{,}0)+5 \approx 0{,}4771+5 = 5{,}4771,\\[4pt] \log N(1{,}0\times10^{6}) &= 6{,}0000,\\[4pt] \log N(1{,}0\times10^{7}) &= 7{,}0000,\\[4pt] \log N(1{,}0\times10^{8}) &= 8{,}0000,\\[4pt] \log N(1{,}0\times10^{9}) &= 9{,}0000. \end{aligned}(As partes decimais de \log(3{,}7)\approx0{,}5682 e \log(3{,}0)\approx0{,}4771 são valores padrão de logaritmo base 10.)
  • Para construir o gráfico S versus \log N, plote os pontos (\log N,\\ S): \begin{aligned} (4{,}5682,\\\ 170),\\ (&5{,}0000,\\\ 148),\\ (5{,}4771,\\\ 130),\\\ (&6{,}0000,\\\ 114),\\ (7{,}0000,\\\ 92),\\ (8{,}0000,\\\ 80),\\ (9{,}0000,\\\ 74). \end{aligned}
  • Dica de construção do gráfico na prova: marque o eixo horizontal de 4{,}5 a 9 em escala linear (cada unidade = uma década), marque o eixo vertical com tensões em MPa, plote os pontos acima e una-os com segmentos retos. Em muitos metais a curva é aproximadamente linear por trechos entre pontos experimentais; portanto interpolação linear em \log N é adequada para estimativas entre pontos experimentais.]

Passo 3

Método para estimar valores entre pontos: interpolação linear em \log N.
  • Quando precisar do valor de S para um N que está entre dois pontos experimentais (\log N_1,S_1) e (\log N_2,S_2), uso a fórmula da reta: S(\log N) = S_1 + m\bigl(\log N-\log N_1\bigr), \qquad m=\frac{S_2-S_1}{\log N_2-\log N_1}.Aqui m é a inclinação (MPa por unidade de \log_{10}N). Esse é o procedimento que se usa na prática quando o gráfico S vs \log N é usado para ler valores: traça-se a reta entre os dois pontos conhecidos e lê-se o valor interpolado.

Passo 4

Parte (b): determinar S para N=4\times10^{6}.
  • Calcule \log N: \log(4\times10^{6})=\log(4)+6\approx0{,}60206+6=6{,}60206.
  • Identificar os pontos experimentais que cercam esse \log N: temos (\log N,S)=(6{,}0000,\\\ 114) para 1\times10^{6} e (7{,}0000,\\\ 92) para 1\times10^{7}. Vamos interpolar entre esses dois.
  • Calcular a inclinação m: m=\frac{92-114}{7{,}0000-6{,}0000}=\frac{-22}{1}=-22\quad\text{(MPa por unidade de }\log_{10}N\text{)}.
  • Usar a fórmula da reta: \begin{aligned} S(6{,}60206) &= 114 + (-22)\bigl(6{,}60206-6{,}0000\bigr)\\[4pt] &=114 -22\times0{,}60206\\[4pt] &=114 -13{,}2453\\[4pt] &\approx100{,}7547\\ \text{MPa}. \end{aligned}
  • Arredondando de modo prático para a prova, S\approx100{,}8\\ \text{MPa}.]

Passo 5

Parte (c): determinar N para S=120\\ \text{MPa}.
  • Localizar o intervalo de interpolação: S=120 fica entre S=130 (em N=3{,}0\times10^{5}, \log N\approx5{,}4771) e S=114 (em N=1{,}0\times10^{6}, \log N=6{,}0000). Vou interpolar linearmente entre esses dois pontos.
  • Calcular a inclinação m entre esses pontos: m=\frac{114-130}{6{,}0000-5{,}4771}=\frac{-16}{0{,}5229}\approx-30{,}606\\ \text{(MPa por unidade de }\log_{10}N\text{)}.
  • Escrever a equação da reta passando por o ponto (5{,}4771,\\\ 130): S(\log N)=130 + m\bigl(\log N-5{,}4771\bigr).Queremos S(\log N)=120. Então \begin{aligned} 120 &=130 + m\bigl(\log N-5{,}4771\bigr)\\[4pt] \log N-5{,}4771 &=\frac{120-130}{m}=\frac{-10}{-30{,}606}\approx0{,}3267. \end{aligned}
  • Portanto \log N \approx 5{,}4771+0{,}3267=5{,}8038.
  • Converter para N: N = 10^{5{,}8038}\approx 6{,}36\times10^{5}\\ \text{ciclos}.(Para ver: 10^{0{,}8038}\approx6{,}36, então N\approx6{,}36\times10^{5}.)]

Resposta

(a) Pontos para traçar o gráfico S–N (plote S em função de \log_{10}N):
(4{,}5682,\\\ 170),\\ (5{,}0000,\\\ 148),\\ (5{,}4771,\\\ 130),\\ (6{,}0000,\\\ 114),\\ (7{,}0000,\\\ 92),\\ (8{,}0000,\\\ 80),\\ (9{,}0000,\\\ 74).
(b) S(4\times10^{6})\approx100{,}8\\ \text{MPa}.
(c) Para S=120\\ \text{MPa}, N\approx6{,}36\times10^{5}\\ \text{ciclos}.

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