Os dados tabulados a seguir foram obtidos a partir de uma série de ensaios de impacto Charpy em um aço AISI 4340 temperado.
Temperature ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) Impact Energy (J)
0 105
-25 104
-50 103
-75 97
-100 63
-113 40
-125 34
-150 28
-175 25
-200 24
(a) Plote os dados como energia de impacto em função da temperatura.
(b) Determine a temperatura de transição dúctil-frágil como sendo a temperatura correspondente à média entre as energias de impacto máxima e mínima.
(c) Determine a temperatura de transição dúctil-frágil como sendo a temperatura na qual a energia de impacto é igual a 50 J .

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) plotar a energia de impacto em função da temperatura;
  • (b) determinar a temperatura de transição dúctil-frágil definida como a temperatura correspondente à média entre a energia de impacto máxima e mínima;
  • (c) determinar a temperatura de transição dúctil-frágil onde a energia de impacto é igual a \,50\\ \mathrm{J}.
Os dados fornecidos são (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • \bigl(T=0^\circ\mathrm{C},\\ E=105\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-25^\circ\mathrm{C},\\ E=104\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-50^\circ\mathrm{C},\\ E=103\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-75^\circ\mathrm{C},\\ E=97\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-100^\circ\mathrm{C},\\ E=63\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-113^\circ\mathrm{C},\\ E=40\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-125^\circ\mathrm{C},\\ E=34\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-150^\circ\mathrm{C},\\ E=28\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-175^\circ\mathrm{C},\\ E=25\\ \mathrm{J}\bigr)
  • \bigl(T=-200^\circ\mathrm{C},\\ E=24\\ \mathrm{J}\bigr).

Passo 2

Como fazer o gráfico pedido em (a) — passo a passo prático e o que observar:
  1. Eixos: no eixo horizontal coloque a temperatura T em ^\circ\mathrm{C} e no vertical a energia de impacto E em \mathrm{J}.
  2. Escala: escolha escala que mostre bem a variação. Por exemplo:
    • eixo T de -210^\circ\mathrm{C} até 10^\circ\mathrm{C} com marcadores de 25^\circ\mathrm{C};
    • eixo E de 0\\ \mathrm{J} até 110\\ \mathrm{J} com marcadores de 10\\ \mathrm{J}.
  3. Marcar os pontos (cada par T,E da lista do Passo 1). Exemplo de pontos para colocar (copiar/colar ao plotar):
    • \bigl(0,\\\ 105\bigr), \bigl(-25,\\\ 104\bigr), \bigl(-50,\\\ 103\bigr), \bigl(-75,\\\ 97\bigr), \bigl(-100,\\\ 63\bigr), \bigl(-113,\\\ 40\bigr), \bigl(-125,\\\ 34\bigr), \bigl(-150,\\\ 28\bigr), \bigl(-175,\\\ 25\bigr), \bigl(-200,\\\ 24\bigr).
  4. Ligação dos pontos: desenhe uma curva contínua (linha suave) passando pelos pontos para visualizar a transição; normalmente aparece uma curva em “S” invertido (alta energia a temperaturas elevadas, queda acentuada na região de transição, depois patamar baixo).
  5. Interpretação visual: a região de transição dúctil→frágil aparece onde a curva cai rapidamente (por volta de -75^\circ\mathrm{C} a -125^\circ\mathrm{C} neste conjunto).
Sugestões rápidas para ferramentas: no Excel insira duas colunas (T e E) e faça um gráfico de dispersão (scatter) com linhas; em Python use matplotlib: plot(T_list, E_list, ‘o-’).

Passo 3

Definir e calcular a média entre energia máxima e mínima (para a parte (b)):
  1. Identificar máxima e mínima no conjunto (peguei os valores da tabela):
    • Energia máxima E_{\max}=105\\ \mathrm{J} (em T=0^\circ\mathrm{C}).
    • Energia mínima E_{\min}=24\\ \mathrm{J} (em T=-200^\circ\mathrm{C}).
  2. A média entre máximo e mínimo é
E_{\text{média}}=\frac{E_{\max}+E_{\min}}{2}=\frac{105+24}{2}=\frac{129}{2}=64{,}5\\ \mathrm{J}.é

Passo 4

Método para obter a temperatura correspondente a uma energia dada (aqui usado tanto em (b) quanto em (c)): interpolação linear entre dois pontos consecutivos.
  1. Raciocínio: os dados são discretos; para uma energia que não aparece exatamente na tabela, aproxima-se a curva localmente por uma reta entre os dois pontos mais próximos que cercam a energia desejada. Isso é aceitável quando os pontos vizinhos estão próximos e não há curvatura muito forte entre eles.
  2. Fórmula da interpolação linear: dados dois pontos \bigl(T_1,E_1\bigr) e \bigl(T_2,E_2\bigr) com E_1<E_{\text{target}}<E_2, a temperatura correspondente a E_{\text{target}} é
T = T_1 + \biggl(\frac{E_{\text{target}}-E_1}{E_2-E_1}\biggr)\,(T_2-T_1).
Aqui:
  • \,T é a temperatura procurada;
  • \,E_{\text{target}} é a energia desejada;
  • \,(T_1,E_1) e (T_2,E_2) são os pontos da tabela que ficam imediatamente abaixo e acima (em energia) de E_{\text{target}}.
  1. Explicando em palavras: a fração \dfrac{E_{\text{target}}-E_1}{E_2-E_1} diz “quanto, em porcentagem, E_{\text{target}} está entre E_1 e E_2”; multiplicando por T_2-T_1 obtemos esse mesmo percentual na escala de temperatura e somamos a T_1.

Passo 5

Aplicar a interpolação para (b): encontrar T para E_{\text{target}}=64{,}5\\ \mathrm{J}.
  1. Procurar no conjunto dois pontos que cercam 64{,}5\\ \mathrm{J} (peguei da tabela):
    • \bigl(T_1=-100^\circ\mathrm{C},\\ E_1=63\\ \mathrm{J}\bigr)
    • \bigl(T_2=-75^\circ\mathrm{C},\\ E_2=97\\ \mathrm{J}\bigr)
      porque 63 < 64{,}5 < 97.
  2. Usar a fórmula:
T = -100 + \biggl(\frac{64{,}5-63}{97-63}\biggr)\,(-75-(-100)).
  1. Calcular passo a passo:
64{,}5-63 = 1{,}5, \quad 97-63 = 34, \quad -75-(-100)=25.
T = -100 + \biggl(\frac{1{,}5}{34}\biggr)\cdot 25 = -100 + \frac{37{,}5}{34}.
\frac{37{,}5}{34}\approx 1{,}102941\ldots
T \approx -100 + 1{,}102941 \approx -98{,}897059^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: -98{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Aplicar a interpolação para (c): encontrar T para E_{\text{target}}=50\\ \mathrm{J}.
  1. Procurar dois pontos que cercam 50\\ \mathrm{J} (peguei da tabela):
    • \bigl(T_1=-113^\circ\mathrm{C},\\ E_1=40\\ \mathrm{J}\bigr)
    • \bigl(T_2=-100^\circ\mathrm{C},\\ E_2=63\\ \mathrm{J}\bigr)
      porque 40 < 50 < 63.
  2. Usar a fórmula:
T = -113 + \biggl(\frac{50-40}{63-40}\biggr)\,(-100-(-113)).
  1. Calcular passo a passo:
50-40 = 10,\quad 63-40 = 23,\quad -100-(-113) = 13.
T = -113 + \biggl(\frac{10}{23}\biggr)\cdot 13 = -113 + \frac{130}{23}.
\frac{130}{23}\approx 5{,}6521739\ldots
T \approx -113 + 5{,}6521739 \approx -107{,}347826^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: -107{,}35^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Observações finais, incertezas e dicas para a prova:
  • Interpolação linear é uma aproximação local. Funciona bem quando os pontos vizinhos estão próximos e a curva não é muito curva naquele intervalo. Aqui a aproximação é adequada para estimativas.
  • Se for pedida maior precisão na prova e tiver muitos pontos, uma opção é ajustar uma curva (por exemplo, uma função tipo logística ou spline) e inverter a curva numericamente; isso exige calculadora/computador.
  • Para marcar no gráfico: desenhe as horizontais em E=64{,}5\\ \mathrm{J} e E=50\\ \mathrm{J} e leia as interseções com a curva para verificar visualmente os resultados obtidos por interpolação.
  • Força aí — respira fundo — seguir esse procedimento passo a passo na prova evita erros bobos. Você consegue!

Resposta

(a) Pontos a plotar: \,(0,\\\ 105),\\ (-25,\\\ 104),\\ (-50,\\\ 103),\\ (-75,\\\ 97),\\ (-100,\\\ 63),\\ (-113,\\\ 40),\\ (-125,\\\ 34),\\ (-150,\\\ 28),\\ (-175,\\\ 25),\\ (-200,\\\ 24).
(b) Temperatura de transição (média = 64{,}5\\ \mathrm{J}): -98{,}9^\circ\mathrm{C}.
(c) Temperatura onde E=50\\ \mathrm{J}: -107{,}35^\circ\mathrm{C}.

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