(a) Considere um tubo cilíndrico de parede fina com raio de 65 mm , que será utilizado para transportar gás pressurizado. Se as pressões interna e externa do tubo forem, respectivamente, 100 atm e
e 0.2026 MPa
, calcule a espessura mínima necessária para cada uma das seguintes ligas metálicas. Assuma um fator de segurança de 3.5.
(b) Um tubo construído com qual dessas ligas terá o menor custo?
Yield
Strength,
Density,
Unit Mass
Cost,
((\mathbf{
) U S} / \mathbf{k g})$
Alloy
375
7.8
1.65
Steel (plain)
1000
7.8
4.00
Steel (alloy)
225
7.1
2.50
Cast iron
275
2.7
7.50
Aluminum
175
2.7
7.50
Magnesium
175
1.80
15.00
(b) Um tubo construído com qual dessas ligas terá o menor custo?
|
|
|
||||||||||
| Alloy | 375 | 7.8 | 1.65 | |||||||||
| Steel (plain) | 1000 | 7.8 | 4.00 | |||||||||
| Steel (alloy) | 225 | 7.1 | 2.50 | |||||||||
| Cast iron | 275 | 2.7 | 7.50 | |||||||||
| Aluminum | 175 | 2.7 | 7.50 | |||||||||
| Magnesium | 175 | 1.80 | 15.00 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a espessura mínima necessária do tubo para cada uma das ligas/ materais da tabela, usando um fator de segurança
. - (b) Dizer qual desses materiais resulta no menor custo por comprimento de tubo (assumindo custo por massa fornecido).
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado e da tabela):
- Raio do tubo:
. - Pressão interna:
(equivalente a , dado). - Pressão externa:
(equivalente a , dado). - Fator de segurança:
. - Propriedades dos materiais (peguei da tabela):
- Alloy:
. - Steel (plain):
. - Steel (alloy):
. - Cast iron:
. - Aluminum:
. - Magnesium:
.
- Alloy:
Observações importantes que usarei a seguir (sem resolver ainda):
- Vou trabalhar com a pressão efetiva
. - Vou empregar a fórmula do estado plano de tensões para cilindro de parede fina (tensão circunferencial — “hoop”):
. Daí isolarei a espessura usando a tensão admissível . - Para comparar custos: calcularei massa por metro do tubo usando aproximação de parede fina e então custo por metro = massa por metro
custo unitário .
Passo 2
Definição e dedução da fórmula que uso (aula rápida).
- Para um cilindro fino sob pressão interna, as tensões principais são a circunferencial (hoop) e a longitudinal. A circunferencial é a maior e costuma governar o dimensionamento.
- Fórmula da tensão circunferencial (resultado clássico, deduzido por equilíbrio de forças de meia-seção):
onde:
-
é a pressão interna efetiva (diferença de pressões) em (ou ), -
é o raio médio do tubo (em mm se estiver em ), -
é a espessura da parede (mm), -
tem unidades . -
Para projeto com fator de segurança
tomamos a tensão admissível
onde
é a tensão de escoamento (yield) do material em MPa.
- Igualando
à e isolando :
Explicação das variáveis novamente para evitar confusão:
em mm se
em MPa e
em mm;
é adimensional;
em MPa.
Passo 3
Calculando a pressão efetiva
.
- Usei os valores de pressão do enunciado:
Passo 4
Aplicando a fórmula para obter
(detalhes de conta).
- Fórmula usada:
- Substituindo
, , e variando conforme cada material:
Cálculos (mostro um passo comum e depois os resultados numéricos):
Agora divido por cada
.
- Para Alloy (
):
- Para Steel (plain) (
):
- Para Steel (alloy) (
):
- Para Cast iron (
):
- Para Aluminum (
):
- Para Magnesium (
, igual ao alumínio):
Pequena checagem de hipótese (importante didaticamente): a hipótese de “parede fina” é razoável quando
. Calculando
para cada material:
- Steel (plain):
→ ok, parede fina. - Alloy:
→ ainda aceitável. - Steel (alloy):
→ já começa a ficar fora da condição estrita de parede fina; idealmente usar-se-ia teoria de parede espessa (Lame) para maior precisão. - Cast iron, Aluminum, Magnesium: também têm
maiores (≈0{,}126, 0{,}198, 0{,}198). Para uma prova típica, porém, costuma-se aceitar o uso da fórmula de parede fina como aproximação — isso é o que fiz aqui porque o enunciado não pediu Lame.
Passo 5
Cálculo do custo por metro de tubo (aula prática sobre como transformar espessura em custo).
- Método: massa por metro de comprimento do tubo (assumindo parede fina) é:
onde:
-
é massa por metro (kg/m), -
é o raio médio (m), -
é a espessura (m), -
é a densidade em . -
Conversões necessárias (usei os dados da tabela):
- Converter densidade de
para : multiplica por . Ex.: . - Converter
de mm para m: . - Usarei
.
- Converter densidade de
-
Custo por metro:
Agora calculo numericamente (mostro as contas principais e o resultado final arredondado razoavelmente):
Constante
(circunferência média).
Para cada material:
- Alloy:
, .
- Steel (plain):
, .
- Steel (alloy):
, .
- Cast iron:
, .
- Aluminum:
, .
- Magnesium:
, .
Passo 6
Interpretação final e escolha do material mais barato:
- Os custos por metro calculados mostram que o menor custo por metro é para o tubo de Steel (plain) com aproximadamente
. - Observação prática: embora o aço liso (plain steel) resulte no menor custo por metro aqui, ele também teve a menor espessura requerida (
), o que levou a pouquíssima massa por metro. Em aplicações reais também se consideraria soldabilidade, resistência à corrosão e a necessidade de teoricamente usar Lame se não for pequeno — aqui o aço plain tem bem dentro do regime de parede fina, o que torna a aproximação segura.
Resposta
(a) Alloy:
Steel (plain):
Steel (alloy):
Cast iron:
Aluminum:
Magnesium:
Steel (plain):
Steel (alloy):
Cast iron:
Aluminum:
Magnesium:
(b) O tubo de menor custo por metro é o Steel (plain) (aprox.
).