(a) Considere um tubo cilíndrico de parede fina com raio de 65 mm , que será utilizado para transportar gás pressurizado. Se as pressões interna e externa do tubo forem, respectivamente, 100 atm e 2.0 \mathrm{~atm}(10.13 e 0.2026 MPa ), calcule a espessura mínima necessária para cada uma das seguintes ligas metálicas. Assuma um fator de segurança de 3.5.
(b) Um tubo construído com qual dessas ligas terá o menor custo?
Yield
Strength,
\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{y}}(\mathbf{M P a})
Density,
\boldsymbol{\rho}\left(\mathbf{g} / \mathbf{c m}^{3}\right)
Unit Mass
Cost, \overline{\mathbf{c}}
((\mathbf{
) U S} / \mathbf{k g})$
Alloy 375 7.8 1.65
Steel (plain) 1000 7.8 4.00
Steel (alloy) 225 7.1 2.50
Cast iron 275 2.7 7.50
Aluminum 175 2.7 7.50
Magnesium 175 1.80 15.00

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a espessura mínima necessária do tubo para cada uma das ligas/ materais da tabela, usando um fator de segurança N=3{,}5.
  • (b) Dizer qual desses materiais resulta no menor custo por comprimento de tubo (assumindo custo por massa fornecido).
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado e da tabela):
  • Raio do tubo: r=65\\ \text{mm}.
  • Pressão interna: p_i=10{,}13\\ \text{MPa} (equivalente a 100\\ \text{atm}, dado).
  • Pressão externa: p_o=0{,}2026\\ \text{MPa} (equivalente a 2{,}0\\ \text{atm}, dado).
  • Fator de segurança: N=3{,}5.
  • Propriedades dos materiais (peguei da tabela):
    • Alloy: \sigma_y=375\\ \text{MPa},\\ \rho=7{,}8\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=1{,}65\\ \$/\text{kg}.
    • Steel (plain): \sigma_y=1000\\ \text{MPa},\\ \rho=7{,}8\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=4{,}00\\ \$/\text{kg}.
    • Steel (alloy): \sigma_y=225\\ \text{MPa},\\ \rho=7{,}1\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=2{,}50\\ \$/\text{kg}.
    • Cast iron: \sigma_y=275\\ \text{MPa},\\ \rho=2{,}7\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=7{,}50\\ \$/\text{kg}.
    • Aluminum: \sigma_y=175\\ \text{MPa},\\ \rho=2{,}7\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=7{,}50\\ \$/\text{kg}.
    • Magnesium: \sigma_y=175\\ \text{MPa},\\ \rho=1{,}80\\ \text{g/cm}^3,\\ \overline{c}=15{,}00\\ \$/\text{kg}.
Observações importantes que usarei a seguir (sem resolver ainda):
  • Vou trabalhar com a pressão efetiva p = p_i - p_o.
  • Vou empregar a fórmula do estado plano de tensões para cilindro de parede fina (tensão circunferencial — “hoop”): \sigma_\theta=\dfrac{p\,r}{t}. Daí isolarei a espessura t usando a tensão admissível \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_y}{N}.
  • Para comparar custos: calcularei massa por metro do tubo usando aproximação de parede fina e então custo por metro = massa por metro \times custo unitário \overline{c}.

Passo 2

Definição e dedução da fórmula que uso (aula rápida).
  • Para um cilindro fino sob pressão interna, as tensões principais são a circunferencial (hoop) e a longitudinal. A circunferencial é a maior e costuma governar o dimensionamento.
  • Fórmula da tensão circunferencial (resultado clássico, deduzido por equilíbrio de forças de meia-seção):
\sigma_\theta=\dfrac{p\,r}{t},
onde:
  • p é a pressão interna efetiva (diferença de pressões) em \text{MPa} (ou \text{N/mm}^2),
  • r é o raio médio do tubo (em mm se p estiver em \text{MPa}),
  • t é a espessura da parede (mm),
  • \sigma_\theta tem unidades \text{MPa}.
  • Para projeto com fator de segurança N tomamos a tensão admissível
\sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_y}{N},
onde \sigma_y é a tensão de escoamento (yield) do material em MPa.
  • Igualando \sigma_\theta à \sigma_{\text{adm}} e isolando t:
t=\dfrac{p\,r}{\sigma_{\text{adm}}}=\dfrac{p\,r\,N}{\sigma_y}.
Explicação das variáveis novamente para evitar confusão: t em mm se p em MPa e r em mm; N é adimensional; \sigma_y em MPa.

Passo 3

Calculando a pressão efetiva p.
  • Usei os valores de pressão do enunciado:
p=p_i-p_o=10{,}13 - 0{,}2026 = 9{,}9274\\ \text{MPa}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para obter t (detalhes de conta).
  • Fórmula usada:
t = \dfrac{p\,r\,N}{\sigma_y}.
  • Substituindo p=9{,}9274\\ \text{MPa}, r=65\\ \text{mm}, N=3{,}5 e variando \sigma_y conforme cada material:
Cálculos (mostro um passo comum e depois os resultados numéricos):
p\,r\,N = 9{,}9274 \times 65 \times 3{,}5 = 2258{,}4835\quad(\text{unidade: MPa·mm}).
Agora divido por cada \sigma_y.
  • Para Alloy ( \sigma_y=375\\ \text{MPa}):
t=\dfrac{2258{,}4835}{375}=6{,}0226\\ \text{mm}.
  • Para Steel (plain) ( \sigma_y=1000\\ \text{MPa}):
t=\dfrac{2258{,}4835}{1000}=2{,}2585\\ \text{mm}.
  • Para Steel (alloy) ( \sigma_y=225\\ \text{MPa}):
t=\dfrac{2258{,}4835}{225}=10{,}0377\\ \text{mm}.
  • Para Cast iron ( \sigma_y=275\\ \text{MPa}):
t=\dfrac{2258{,}4835}{275}=8{,}2144\\ \text{mm}.
  • Para Aluminum ( \sigma_y=175\\ \text{MPa}):
t=\dfrac{2258{,}4835}{175}=12{,}9042\\ \text{mm}.
  • Para Magnesium ( \sigma_y=175\\ \text{MPa}, igual ao alumínio):
t=\dfrac{2258{,}4835}{175}=12{,}9042\\ \text{mm}.
Pequena checagem de hipótese (importante didaticamente): a hipótese de “parede fina” é razoável quando t/r \lesssim 0{,}1. Calculando t/r para cada material:
  • Steel (plain): t/r \approx 2{,}2585/65 \approx 0{,}0348 → ok, parede fina.
  • Alloy: 6{,}0226/65 \approx 0{,}0926 → ainda aceitável.
  • Steel (alloy): 10{,}0377/65 \approx 0{,}1544 → já começa a ficar fora da condição estrita de parede fina; idealmente usar-se-ia teoria de parede espessa (Lame) para maior precisão.
  • Cast iron, Aluminum, Magnesium: também têm t/r maiores (≈0{,}126, 0{,}198, 0{,}198). Para uma prova típica, porém, costuma-se aceitar o uso da fórmula de parede fina como aproximação — isso é o que fiz aqui porque o enunciado não pediu Lame.

Passo 5

Cálculo do custo por metro de tubo (aula prática sobre como transformar espessura em custo).
  • Método: massa por metro de comprimento do tubo (assumindo parede fina) é:
m' = 2\pi r\,t\,\rho,
onde:
  • m' é massa por metro (kg/m),
  • r é o raio médio (m),
  • t é a espessura (m),
  • \rho é a densidade em \text{kg/m}^3.
  • Conversões necessárias (usei os dados da tabela):
    • Converter densidade de \text{g/cm}^3 para \text{kg/m}^3: multiplica por 1000. Ex.: 7{,}8\\ \text{g/cm}^3 = 7800\\ \text{kg/m}^3.
    • Converter t de mm para m: t_{\text{m}}=t_{\text{mm}}/1000.
    • Usarei r=65\\ \text{mm}=0{,}065\\ \text{m}.
  • Custo por metro:
\text{custo\_por\_m} = m' \times \overline{c}.
Agora calculo numericamente (mostro as contas principais e o resultado final arredondado razoavelmente):
Constante 2\pi r = 2\pi(0{,}065)=0{,}408407\\ \text{m} (circunferência média).
Para cada material:
  1. Alloy: \rho=7800\\ \text{kg/m}^3, t=6{,}0226\\ \text{mm}=0{,}0060226\\ \text{m}.
m' = 0{,}408407\times 7800 \times 0{,}0060226 \approx 19{,}175\\ \text{kg/m}.
\text{custo} = 19{,}175\times 1{,}65 \approx 31{,}64\\ \$/\text{m}.
  1. Steel (plain): \rho=7800, t=2{,}2585\\ \text{mm}=0{,}0022585\\ \text{m}.
m' \approx 0{,}408407\times 7800 \times 0{,}0022585 \approx 7{,}194\\ \text{kg/m}.
\text{custo} \approx 7{,}194\times 4{,}00 \approx 28{,}78\\ \$/\text{m}.
  1. Steel (alloy): \rho=7100, t=10{,}0377\\ \text{mm}=0{,}0100377\\ \text{m}.
m' \approx 0{,}408407\times 7100 \times 0{,}0100377 \approx 29{,}106\\ \text{kg/m}.
\text{custo} \approx 29{,}106\times 2{,}50 \approx 72{,}77\\ \$/\text{m}.
  1. Cast iron: \rho=2700, t=8{,}2144\\ \text{mm}=0{,}0082144\\ \text{m}.
m' \approx 0{,}408407\times 2700 \times 0{,}0082144 \approx 9{,}058\\ \text{kg/m}.
\text{custo} \approx 9{,}058\times 7{,}50 \approx 67{,}94\\ \$/\text{m}.
  1. Aluminum: \rho=2700, t=12{,}9042\\ \text{mm}=0{,}0129042\\ \text{m}.
m' \approx 0{,}408407\times 2700 \times 0{,}0129042 \approx 14{,}230\\ \text{kg/m}.
\text{custo} \approx 14{,}230\times 7{,}50 \approx 106{,}73\\ \$/\text{m}.
  1. Magnesium: \rho=1800, t=12{,}9042\\ \text{mm}=0{,}0129042\\ \text{m}.
m' \approx 0{,}408407\times 1800 \times 0{,}0129042 \approx 9{,}486\\ \text{kg/m}.
\text{custo} \approx 9{,}486\times 15{,}00 \approx 142{,}29\\ \$/\text{m}.

Passo 6

Interpretação final e escolha do material mais barato:
  • Os custos por metro calculados mostram que o menor custo por metro é para o tubo de Steel (plain) com aproximadamente \$28{,}78/\text{m}.
  • Observação prática: embora o aço liso (plain steel) resulte no menor custo por metro aqui, ele também teve a menor espessura requerida ( 2{,}2585\\ \text{mm}), o que levou a pouquíssima massa por metro. Em aplicações reais também se consideraria soldabilidade, resistência à corrosão e a necessidade de teoricamente usar Lame se t/r não for pequeno — aqui o aço plain tem t/r bem dentro do regime de parede fina, o que torna a aproximação segura.

Resposta

(a) Alloy: t=6{,}0226\\ \text{mm}
Steel (plain): t=2{,}2585\\ \text{mm}
Steel (alloy): t=10{,}0377\\ \text{mm}
Cast iron: t=8{,}2144\\ \text{mm}
Aluminum: t=12{,}9042\\ \text{mm}
Magnesium: t=12{,}9042\\ \text{mm}
(b) O tubo de menor custo por metro é o Steel (plain) (aprox. \$28{,}78/\text{m}).

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